欧拉回路

什么叫颓，我是彻底明白了。 定义： 欧拉路径：在一个图中，由i点出发，将每个边遍历一次最终到达j点的一条路径。 欧拉回路：i=j时的欧拉路径。（也就是把所有边绕一边，最后回到自己）。 判断欧拉回路： 判断 欧拉路径：

欧拉路径 ：欧拉路是指从图中任意一个点开始到图中任意一个点结束的路径，并且图中每条边通过的且只通过一次。 欧拉回路 :欧拉回路是指起点和终点相同的欧拉路。 二、存在欧拉路的条件: 1.无向连通图存在欧拉路的条件： 所有点度都是偶数，或者恰好有两个点度是奇数，则有欧拉路。若有奇数点度，则奇数点度点一定是欧拉路的起点和终点，否则可取任意一点作为起点。 2.有向连通图存在欧拉路的条件： ①每个点的入度等于出度，则存在欧拉回路（任意一点有度的点都可以作为起点） ②除两点外，所有入度等于出度。这两点中一点的出度比入度大，另一点的出度比入度小，则存在欧拉路。取出度大者为起点，入度大者为终点。 所以判断一个 有向图 是否存在欧拉路的步骤： ①判断所有点的入度与出度是否相等，或者只有两个点的出度和入度不相等，这两个点其中有一个点的入度=出度+1（终点），另一个点的出度=入度+1（起点）. ②将有向图转化为无向图，判断图中各点是否连通（即判断连通图，可用dfs或者并查集） 所以判断一个 无向图 是否存在欧拉路的步骤： ①统计所有结点的度，要么都为偶数，要么只有两个结点的度为奇数。 ②判断图中各点是否连通（即判断连通图，可用dfs或者并查集） 例题： UVA 10129 输入n个单词，是否可以把所有这些单词排成一个序列，使得每个单词的第一个字母和上一个单词的最后一个字母相同（例如acm、mam

https://loj.ac/problem/10105 题目描述   两个任务： \(t=1\) 时，求无向图是否存在欧拉回路及其方案； \(t=2\) 时，求有向图是否存在欧拉回路及其方案。 思路   对于无向图，存在欧拉回路的条件是所有节点的度均为偶数；对于有向图，存在欧拉回路的条件是原图的基图（忽略原图边方向的图）连通，且所有节点的如度等于出度。接下来考虑如何求一条欧拉回路。   我们考虑一条欧拉回路必定是由几个简单环构成的，所以我们直接沿每条边走，如果走成一条环就不再走这条边，从其他变开始走，最后合并起来的环就一定是欧拉回路的一种方案。因此对于任意一个点开始 \(dfs\) 即可。不过由于我们会重复访问很多次同一节点，时间复杂度可能会变为 \(O（N×M）\) ，所以我们考虑走过这条边就把这条边删去，代码实现时在 \(i=head[u]\) 改为 \(i=\) & \(head[u]\) 即可。 代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5+10,M=4e5+10; void end() { printf("NO"); exit(0); } int nxt[M],to[M],tot=1,head[N]; void add_edge(int x,int y) { nxt[++tot]

地址 https://algospot.com/judge/problem/read/WORDCHAIN 解答: 1 书上的解法是制作有向图 然后查找欧拉回路 代码实现稍后 2 个人觉得 可以使用收尾单词作为关键字 去哈希 然后进行哈希查找与DFS结合的搜索 看看最后能否将单词全部使用 代码实现稍后 来源： https://www.cnblogs.com/itdef/p/11750451.html

•参考资料 [1]: 混合图欧拉回路 •前提知识 欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径 判断方法： 无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。 有向图：每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。 •混合图欧拉回路 判断方法： 第一步：把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。 如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点 (入度 = 出度)，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 第二步：经过第一步筛选现在每个点入度和出度之差均为偶数。 那么将这个偶数除以2得 x ( x = 入度 - 出度 )。 也就是说对于每一个点，只要将|x|条边改变方向 （入>出就是入变成出，出>入就是出变成入），就能保证 出 = 入。 如果每个点都是 出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 计算方法：网络流 有向边是不能改变方向的，对方向改变并没有用处，所以删去。 建超级源点$s$和超级汇点$t$，统计所有点的 入度出度之差/2 得$x$， 对于 $x > 0$ 的点，加边$(s, i, x)$；对于 $x< 0$ 的点，加边$(i, t, -x)$ 对原图(即随便定向的图)中的每条边$(i, j)$，在网络中加边$(i, j, 1)$。 之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。 欧拉回路 查看流值分配

（摘自https://www.cnblogs.com/abc1604831024/p/9077112.html） 欧拉回路 就是给一个图， 存在一条回路把所边经过且每条边只经过一次 。 对于 无向图 ： 　　存在欧拉回路的条件： 每个点的度都为偶数 ； 　　存在欧拉路的条件： 有且只有两个点的度为一，且这两个点分别为起点和终点 ； 对于 有向图 ： 　　存在欧拉回路的条件： 每个点出度等于入度 ； 　　存在欧拉路的条件： 存在一个点出度比入度多一作为起点，存在一点入度比出度多一作为终点，其余点出度等于入度 ； 求欧拉回路的方法—— 基本（套圆）法 　　 dfs搜索，不能再往下走便回溯，回溯时记录路径，回溯时不清除对边的标记，最后求出来的路径就是欧拉回路。 举例 （1）走<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,5>,<5,1>,然后无路可走，就回溯记录下回溯路径<1,5>,<5,4>,4点有其它路壳走。 （2）<4,8>,<8,3>,<3,6>,<6,7>,<7,2>，<2,4>,无路可走，然后回溯<1,5>,<5,4>,<4,2>,<2,7>,<7,6>,<6,3>,<3,8>,<8,4>,<4,3>,<3,2>,<2,1>。 记录下的路径<1,5>,<5,4>,<4,2>,<2,7>,<7,6>,<6,3>,<3,8>,<8,4>,<4,3>,<3,2>,<2,1

luogu_p1341 欧拉路径/欧拉回路 一道板子题，顺带好好复习了欧拉路径和回路，当然只是无向图的。 luogu_p5018 递归水题 18的pj_T4,树的递归，水一水就过去了。 luogu_p2615 水题 水的一B. 来源： https://www.cnblogs.com/backkom-buaa/p/11569510.html

欧拉回路 几个定义 性质与定理 定理1 推论1 定理2 推论2 性质1 性质2 算法主体 例题 uoj117求给定图的欧拉回路 poj1041求字典序最小的欧拉回路 poj1386Play on Words poj2230求无向图欧拉图要求每条边走两遍且方向不同 poj2513字符串的欧拉图 poj2337字典序 poj1637Sightseeing tour求混合图欧拉回路 HDU 2894Poj1392 欧拉回路 几个定义 设G (V,E)是一个图。 1.欧拉回路 图G中经过 每条边一次 并且 仅一次 的回路称作欧拉回路。 2.欧拉路径 图G中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。 3.欧拉图 存在欧拉回路的图称为欧拉图。 4.半欧拉图 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。 性质与定理 二、性质与定理 在以下讨论中，假设图 G不存在孤立点（度为0）；否则，先将所有孤立点从图中删除。 显然，这样做并不会影响图G中欧拉回路的存在性。 我们经常需要判定一个图是否为欧拉图（或半欧拉图），并且找出一条欧拉回路（或欧 拉路径）。对于无向图有如下结论： 定理1 无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。 证明： 必要性。 设图G的一条欧拉回路为C。由于C经过图G的每一条边，而图G没 有孤立点，所以C也经过图G的每一个顶点，G为连通图成立

欧拉路径/欧拉回路 欧拉路径是一条经过图中所有边且只经过一次的路径（类似于一笔画问题）； 欧拉回路的话就是起点和终点相同的欧拉路径 欧拉通路（欧拉路径） ：S点到T点的路径经过图中所有的边，有且仅有一次 欧拉回路 ：就是起点和终点相同的欧拉路径 欧拉图 ：通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路 下图p1,p2都不是欧拉图：因为不存在有一条路径能通过所有边且边只经过一次 而下图可以被称为欧拉图： 性质 1.无向连通图 G 是欧拉图，当且仅当 G 不含奇数度结点( G 的所有结点度数为偶数)； 2.无向连通图G 含有欧拉通路，当且仅当 G 有零个或两个奇数度的结点； 3.有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度； 4.有向连通图 D 含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且 D 中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足 deg-(u)-deg+(v)=±1 。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的 入度=出度）； 5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环； 6.如果图G是欧拉图且 H = G-uv，则 H 有奇数个 u,v-迹仅在最后访问 v ；同时，在这一序列的 u,v-迹中，不是路径的迹的条数是偶数。 求法 对于 无向图 满足以下条件说明该图为 无向欧拉图

Problem Description 欧拉回路是指不令笔离开纸面，可画过图中每条边仅一次，且可以回到起点的一条回路。现给定一个图，问是否存在欧拉回路？ Input 测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数，分别是节点数N ( 1 < N < 1000 )和边数M；随后的M行对应M条边，每行给出一对正整数，分别是该条边直接连通的两个节点的编号（节点从1到N编号）。当N为0时输入结 束。 Output 每个测试用例的输出占一行，若欧拉回路存在则输出1，否则输出0。 Sample Input 3 3 1 2 1 3 2 3 3 2 1 2 2 3 0 Sample Output 1 0 欧拉回路：　无向图连通图的判断条件 --->> 所有点的度为偶数 　　　　　　有向图连通图的判断条件 --->> 出度+1，入度-1，所有点的度为0 欧拉路径：　无向图连通图的判断条件 --->> ① 所有点的度为偶数 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 其余点为偶数，有且仅有两个奇数度的点(一个为起点，一个为终点） 　　　　　　有向图连通图的判断条件 --->> ①出度+1，入度-1，所有点的度为0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②有且仅有两个点的度不为0，一个为1，一个为 -1 上述条件均需 一个大条件，图为连通图！ 所以此题用并查集判断是否连通