欧拉路径/欧拉回路
欧拉路径是一条经过图中所有边且只经过一次的路径（类似于一笔画问题）；
欧拉回路的话就是起点和终点相同的欧拉路径
欧拉通路（欧拉路径）：S点到T点的路径经过图中所有的边，有且仅有一次
欧拉回路：就是起点和终点相同的欧拉路径
欧拉图：通过图（无向图或有向图）中所有边且每边仅通过一次通路，相应的回路称为欧拉回路
下图p1,p2都不是欧拉图：因为不存在有一条路径能通过所有边且边只经过一次
而下图可以被称为欧拉图：
性质
1.无向连通图 G 是欧拉图，当且仅当 G 不含奇数度结点( G 的所有结点度数为偶数)；
2.无向连通图G 含有欧拉通路，当且仅当 G 有零个或两个奇数度的结点；
3.有向连通图 D 是欧拉图，当且仅当该图为连通图且 D 中每个结点的入度=出度；
4.有向连通图 D 含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且 D 中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，且此两点满足 deg-(u)-deg+(v)=±1 。（起始点s的入度=出度-1，结束点t的出度=入度-1 或两个点的
入度=出度）；
5.一个非平凡连通图是欧拉图当且仅当它的每条边属于奇数个环；
6.如果图G是欧拉图且 H = G-uv，则 H 有奇数个 u,v-迹仅在最后访问 v ；同时，在这一序列的 u,v-迹中，不是路径的迹的条数是偶数。
求法
对于无向图满足以下条件说明该图为无向欧拉图
1.图中的所有边的度数都为偶数
2.路径边的数目为图中边的数目
求法：
第一步：输入点的数目，边的数目，输入每条边的起点和终点，记录两个点的度数，边的信息
第二步：判断每个点的度数是否为奇数，若存在奇数该图不可能为欧拉图，不存在则继续判断
第三步：找到一个有边的点，从该点作为路径的起点进行dfs
第四步：dfs：进行前向星的遍历，回溯之后记录答案
第五步：判断路径边的数目是否和图中边的数目相等，若不相等该图不为欧拉图，相等则输出欧拉路径
对于有向图满足以下条件说明该图为有向欧拉图
1.图中的所有点的入度数等于出度数
2.路径边的数目为图中边的数目
求法：
第一步：输入点的数目，边的数目，输入每条边的起点和终点，记录该点的入度数，出度数，边的信息
第二步：判断每个点的入度数是否不等于出度数，若存在不相等该图不可能为欧拉图，都相等则继续判断
第三步：找到一个有边的点，从该点作为路径的起点进行dfs
第四步：dfs：进行前向星的遍历，回溯之后记录答案
第五步：判断路径边的数目是否和图中边的数目相等，若不相等该图不为欧拉图，相等则输出欧拉路径
例题
UOJ 117 欧拉回路 ***非常经典重要的一道题
题意：求有向图与无向图的欧拉回路，如果存在，输出欧拉回路（边的序号），注意题目中给出的无向图的输出方式
1 //#include<bits/stdc++.h>
2 #include<iostream>
3 #include<string>
4 #include<cstring>
5 inline int read() ///快速读入
6 {
7 int X=0,w=0;
8 char ch=0;
9 while(!isdigit(ch))
10 {
11 w|=ch=='-';
12 ch=getchar();
13 }
14 while(isdigit(ch))
15 X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
16 return w?-X:X;
17 }
18
19 int op,n,m;//图的标记，图中点的数目，边的数目
20 struct node
21 {
22 int e;//终点
23 int p;//边的编号
24 int vis;///标记这条边是否被访问过
25 } load[400005];
26 int head[100005],sign,cnt;//前向星，sign记录此时存图中边数组load存到的边的数目，cnt记录此时存路径点的数组ans存到的边的数目
27
28 void add_edge(int s,int e) //添加起点s终点e的边
29 {
30 load[++sign]=node{e,head[s],0};
31 head[s]=sign;
32 }
33
34 void init()//初始化
35 {
36 cnt=sign=0;
37 memset(head,-1,sizeof(head));
38 }
39
40 int ans[200005];//答案数组
41
42 void dfs_unedge(int s)//无向图
43 {
44 for(int i=head[s]; i!=-1; i=head[s])
45 {
46 ///目的是为了优化，因为每一条边只访问一次/
47 ///可以将这条边删除掉，可以降低时间复杂度（否则会T）
48 head[s]=load[i].p;
49
50 int e=load[i].e;
51 if(load[i].vis) ///访问过的边不会再次访问
52 continue;
53 ///因为储存的双向边，两条边都需要标记
54 load[i].vis=1;//标记第一条边
55 (i&1)?load[i+1].vis=1:load[i-1].vis=1;//标记第二条边
56
57 dfs_unedge(e);
58 ans[++cnt]=(i+1)/2; ///回溯(说明已经找到了解)后储存答案
59 if((i&1)==0) ///反向走的边变为负值 i是边的序号 无向图存边正向的边序号都是奇数，反向边是在正向边之后存的（所以序号为偶数）
60 ans[cnt]*=-1;
61 }
62 }
63
64 void solve_unedge() //无向图欧拉回路
65 {
66 int de[100005],s,e;//记录每个点的度数
67 memset(de,0,sizeof(de));
68 n=read();//点的数目
69 m=read();//边的数目
70 for(int i=1; i<=m; i++)
71 {
72 s=read();
73 e=read();
74 de[s]++;
75 de[e]++;
76 ///建立双向边
77 add_edge(s,e);
78 add_edge(e,s);
79 }
80 ///对于无向图来说度数为奇数的点个数为0
81 for(int i=1; i<=n; i++)
82 {
83 if(de[i]&1)
84 {
85 printf("NO\n");
86 return ;
87 }
88 }
89 for(int i=1; i<=n; i++)
90 {
91 if(de[i])//找一条有边的点去找欧拉回路
92 {
93 dfs_unedge(i);
94 break;
95 }
96 }
97 if(cnt!=m)//路径边的数目不等于图中所有的边
98 {
99 printf("NO\n");
100 return ;
101 }
102 printf("YES\n");
103 ///逆序输出，因为方向正负已经决定了
104 for(int i=cnt; i>=1; i--)//输出图中的欧拉回路
105 printf("%d ",ans[i]);
106 }
107
108 void dfs_diredge(int s) //有向图欧拉回路
109 {
110 for(int i=head[s]; i!=-1; i=head[s])
111 {
112 head[s]=load[i].p;
113 int e=load[i].e;
114 if(load[i].vis)
115 continue;
116 load[i].vis=1;
117 dfs_diredge(e);
118 ans[++cnt]=i;//回溯后存答案
119 }
120 }
121
122 void solve_diredge() ///有向图欧拉回路
123 {
124 int in[100005],out[100005];
125 n=read();
126 m=read();
127 for(int i=1; i<=n; i++)
128 in[i]=out[i]=0;
129 int s,e;
130 for(int i=1; i<=m; i++)
131 {
132 s=read();
133 e=read();
134 out[s]++;//起点的出度
135 in[e]++;//终点的入度
136 add_edge(s,e);
137 }
138 ///对于有向图来说每个点的入度必须等于出度。
139 for(int i=1; i<=n; i++)
140 {
141 if(in[i]-out[i])//说明入度出度不相等
142 {
143 printf("NO\n");
144 return ;
145 }
146 }
147 for(int i=1; i<=n; i++)//找到第一个有边的点
148 {
149 if(head[i]!=-1)
150 {
151 dfs_diredge(i);
152 break;
153 }
154 }
155 if(cnt!=m)//路径里的边的数目不等于图中边的数目
156 {
157 printf("NO\n");
158 return ;
159 }
160 printf("YES\n");
161 for(int i=cnt; i>=1; i--)//输出图中的欧拉回路
162 printf("%d ",ans[i]);
163 }
164
165 int main()
166 {
167 init();///初始化
168 op=read();//图的种类 1为无向图，2为有向图
169 op==1?solve_unedge():solve_diredge();
170 return 0;
171 }
luogu1341 无序字母对
找一个无向图中的字典序最小的欧拉路径。我只要做的时候按照字典序去遍历边就好了
#include<bits/stdc++.h>
#define pa pair<int,int>
#define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=128,maxm=1e4;
inline ll rd(){
ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*neg;
}
int N,ans[maxm],e[maxn],pct;
bool eg[maxn][maxn];
void dfs(int x){
for(int i='A';i<='z';i++){
if(!eg[x][i]) continue;
eg[x][i]=eg[i][x]=0;
dfs(i);
}ans[++pct]=x;
}
int main(){
//freopen(".in","r",stdin);
int i,j,k;
N=rd();
for(i=1;i<=N;i++){
char c[5];
scanf("%s",c);
eg[c[0]][c[1]]=eg[c[1]][c[0]]=1;
e[c[0]]++,e[c[1]]++;
}
int cnt=0;
for(i='A';i<='z';i++){
if(e[i]&1) cnt++;
}
if(cnt!=0&&cnt!=2){
printf("No Solution\n");
return 0;
}
int s=127;
for(i='A';i<='z';i++){
if((!cnt&&e[i])||(cnt==2&&(e[i]&1))) s=min(s,i);
}
dfs(s);
for(i=N+1;i;i--){
printf("%c",ans[i]);
}
return 0;
}