欧拉回路

原文地址：https://blog.csdn.net/qq_34454069/article/details/77779300 定义： 欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径 欧拉路径：经过每一条边一次，但是不要求回到起始点 无向图 首先，在无向图中，要确定是否存在欧拉回路很容易：只要每个点的度数均为偶数即可。（这里就不扯什么连不连通的鬼东西了）。 因为每个点的度数为偶数，所以可以将整个图看做由数个环嵌套而成，因为环一定能找到一条欧拉回路，所以整个图也能找到欧拉回路。 欧拉路径：如果有且仅有两个点的度数为奇数，就会存在一条从这两个中的一个到达另一个的欧拉路径。 假如在这两个点间连一条边，就能够从任意一个点出发找到一条欧拉回路，当出发点为这两个点中的一个时，切断这条边，就成为一条欧拉路径了。 有向图 欧拉回路：所有点的入度等于出度，就存在一条欧拉回路。 这里可以换一种角度来理解，对于每一个点，每次进入这个节点，就一定有一条路可以出去，因此必定存在一条欧拉回路。 欧拉路径：最多有一点入度等于出度+1，最多有一点入度等于出度-1，就会有一条从出度大于入度（没有则等于）的点出发，到达出度小于入度（没有则等于）的点的一条欧拉路径。证明方法与无向图的欧拉路径类似。 来源： https://www.cnblogs.com/WTSRUVF/p/9359239.html

混合图： 即有的边有向，有的边无向。 定义： 对于图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为 欧拉(Euler)回路 。 具有欧拉回路的图称为 欧拉图 （简称E图）。 定理 ： 一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。 一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。 有向图存在欧拉回路的充要条件：基图（把所有有向边变成无向边以后得到的图）连通，且每个点的出度等于入度。 所以求混合图的关键是：判断能否存在一个定向，使得每个节点的入度等于出度。 因此可以用网络流来做。建边方法，黑书上有两种，这里讲第二种，更好一点的。图的点数为n + 2，边数为 m + n，其中，n为原点数，m为原边数。 黑书上的讲的我没看太懂，按照我自己的理解，讲一下建图过程。 在原图中，首先给每条无向边任意定向，构成一个有向图，计算每个点的度deg，入度为正，出度为负，如果某个点的deg为奇数，显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边，不能更改方向，无用，删了，对原图中的无向边定向后构成的有向图，如果点 i 到j 有一条弧，弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候，即有重边，可以一条边，多容量代替) 增加源点S，汇点T，对于每个点 i ，如果deg < 0，即出度大于入度，从S引一条弧到 i ，容量为(- deg ) / 2；如果deg > 0, 即入度大于出度，从 i

题目连接：https://vjudge.net/problem/HDU-1956 题意：给定一些点和一些边，有些边是有向的，，有些边是无向的，求是否存在欧拉回路。 题解：想不到的网络流。 混合图： 即有的边有向，有的边无向。 定义： 对于图G的一个回路，若它恰通过G中每条边一次,则称该回路为 欧拉(Euler)回路 。 具有欧拉回路的图称为 欧拉图 （简称E图）。 定理 ： 一个无向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是偶数。 一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。 有向图存在欧拉回路的充要条件：基图（把所有有向边变成无向边以后得到的图）连通，且每个点的出度等于入度。 所以求混合图的关键是：判断能否存在一个定向，使得每个节点的入度等于出度。 建图过程。 在原图中，首先给每条无向边任意定向，构成一个有向图，计算每个点的度deg，入度为正，出度为负，如果某个点的deg为奇数，显然不存在欧拉回路。由于原来的有向边，不能更改方向，无用，删了，对原图中的无向边定向后构成的有向图，如果点 i 到j 有一条弧，弧< i , j >容量加1(i 到 j 有多条边的时候，即有重边，可以一条边，多容量代替) 增加源点S，汇点T，对于每个点 i ，如果deg < 0，即出度大于入度，从S引一条弧到 i ，容量为(- deg ) / 2；如果deg > 0, 即入度大于出度，从 i

网上摘的一些知识点 基础知识 欧拉回路是图G中的一个回路，经过每条边有且仅一次，称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。 无向图中存在欧拉回路的条件：每个点的度数均为偶数。 有向图中存在欧拉回路的条件：每个点的入度=出度。 欧拉路径比欧拉回路要求少一点： 无向图中存在欧拉路径的条件：每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。 有向图中存在欧拉路径的条件：除了2个点外，其余的点入度=出度，且在这2个点中，一个点的入度比出度大1，另一个出度比入度大1。 欧拉路径的输出：经典的套圈算法。 下面来重点讲讲 混合图的欧拉回路 问题。 混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。 建模： 把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。 首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删

　　对于有向图和无向图的欧拉回路判定,很容易做到.那对于混合图呢?? 　　混合图就是图中既存在无向边又存在有向边的图. 　　至于解法:　 转载自这里 　　把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。 　　好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。 　 　现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。 另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。 　　由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 =

欧拉回路模板 从无向图中的一个节点出发走出一条道路，每条边恰好经过一次。这样的路线称为欧拉道路。 如果一个无向图是连通的，且最多只有两个奇点，则一定存在欧拉道路。如果有两个奇点，则必须从一个奇点出发，另一个奇点终止；如果奇点存在，则可以从任意点出发，最终一定会回到该点（称为欧拉回路）。 算法模板： int P,Q,con;//con用于记录连通点的个数 int Euler(){ int cont=0;//统计奇度点的个数 queue<int>q; q.push(1); visit[1]=1; while(!q.empty()){ int t=q.front(); q.pop(); con++; int sum=0;//记录这个点的边数 for(int i=1;i<=P;i++){ if(Map[t][i]){ if(!visit[i]){ visit[i]=1; q.push(i); } sum++; } } if(sum%2){ cont++; } } return cont; } 在main函数中 加上 if((cont==0 || cont==2) && P==con) 来源： https://www.cnblogs.com/mak370/p/11908401.html

　　T1是欧拉路板子，但我不会，直接爆炸。。 这玩意就是个dfs ，但我以前一直以为欧拉路只能$O(nm)$求 今天才知道可以$O(n+m)$ 欧拉路判定： 无向：起点终点为奇度点，其余偶度 有向：起点终点出度入度分别差一，其余相等。 欧拉回路类似。 怎么求？？ 我们可以很容易找到起点。然后由于其他点的度数为偶数，就可以保证进去就一定可以出来。 所以瞎搜就完事 ，注意到有环套环的情况，我们先把这个点扩展完再把该点入栈。 代码实现很简单： void dfs(int x) { 　　for(int i=head[x];i;i=nxt[i])　　　　if(!v[id[i]])　　　　{ 　　　　　　v[id[i]]=1;　　　　　　dfs1(to[i]);　　　　　　s[++top]=id[i]; 　　　　}　　return ; } 一点优化： 当前弧优化，注意到有些毒瘤出题人卡这种做法。 因为一个点不止拓展一次，那么复杂度就没有保证了，最简单的数据就是两个点直接连着m条边。 所以有大佬发明了这样一个优化： 一条边被访问过就没用了，所以我们可以直接把表头设为第一个合法的，也就是去除无用状态。 代码： void dfs(int x) { int i=head[x]; while(i) { while(i&&v[id[i]]!=0) i=nxt[i]; head[x]=i; if(i) { v

钟长者（Orz）的课堂总结 一，欧拉回路：能够从一个点出发，不重复的走过每一条边，回到起点的路径称为欧拉回路。 判定条件：对于无向图：1，图是连通图 2，所有点的度数均为偶数 对于有向图：1，图是连通图 2，所有点的入度等于出度 二，欧拉路径：能够从一个点出发，不重复的走过每一条边的路径称为欧拉路径。 判定条件：对于无向图：1，图是连通图 2，有且只有两个点的度为奇数，其余点的度均为偶度。 *对于一个无向图若有2*k个奇度数的点，则为一个k笔画问题。 对于有向图：1，图是连通图 2，有且只有一个点出度减入度等于1，有且仅有一个点 的出度-入度等于1，其余所有点的入度等于出度。 求欧拉路径数量：BEST定理。 题1：给定一张无向图，要求把边分成两部分，使得任意一部分都组成一条路径。 若联通块的数量大于2，则无解； 如果联通块的数量等于二，则当且仅当两个联通块都存在欧拉回路 时有解。若联通块数量为1，若存在一条欧拉回路，则任意切开两个点分为两个集合即可，若存在一条 欧拉路径，同上，若是k（k=2）笔画问题，首先要有四个点的度为奇数，再两个奇数度的点之间连一条 边，判断一下是否存在欧拉回路即可。 *k笔画是否存在问题均转化成欧拉回路问题。 来源： https://www.cnblogs.com/Hoyoak/p/11785113.html

（1）判断 欧拉回路（把所有边走一遍，最后回到起点） 无向图的所有点度数为偶数， 且联通 有向图的所有点入度=出度， 且联通 欧拉道路（ 把所有边走一遍 ， 不回到起点） 无向图 所有点的度数为偶数 或者 除了两个度数为奇数外其余的全是偶数。同时要联通（忽略方向） 有向图所有点 出度=入度 或者 一个顶点 出度=入度+1，另一个顶点 入度=出度+1 。 同时要联通（忽略方向） （2）输出路径 int dfs(u) //欧拉回路则从任意点开始， 欧拉道路要从起点开始（出度=入度+1） { REP(i, 0, g[u].size()) { int v = g[u][i]; if(!vis[u][v]) //这条边还没有遍历过 { vis[u][v] = vis[v][u] = 1; //这是无向图， 有向图则改为 vis[u][v] = 1 dfs(v); stack.push(node(u, v)); //注意最后从栈顶输出到栈底 } //这句话一定要在dfs后面 } } 文章来源: 欧拉回路模板

无向图：因为欧拉路径中，除了起点与终点以外，任意点的“进”“出”次数相等，所以除了两个点为奇点（度数为奇数的点）（终点和起点）以外，其它点的度数均为偶数。 如果是欧拉回路，奇点的个数应该为0。 有向图：欧拉路径中，最多只有两个点的入度不等于出度。起点出度比入度大1，终点入度比出度大1。 如果是欧拉回路，所有点的 入度=出度 。