代数基本定理

高等代数笔记1:基础知识

∥☆過路亽.° 提交于 2020-03-01 08:14:10
复数和数域 首先,我们要引入复数,实际上,我们在中学数学中已经接触过复数了,我们知道,实数域的加法和乘法有如下性质: (1)(加法交换律) a + b = b + a a+b=b+a a + b = b + a (2)(加法结合律) a + b + c = a + ( b + c ) a+b+c=a+(b+c) a + b + c = a + ( b + c ) (3)(存在零元) 0 + a = a 0+a=a 0 + a = a (4)(存在相反元) ( − a ) + a = 0 (-a)+a=0 ( − a ) + a = 0 (5)(乘法交换律) a b = b a ab=ba a b = b a (6)(乘法结合律) a b c = a ( b c ) abc=a(bc) a b c = a ( b c ) (7)(存在单位元) 1. a = a 1.a=a 1 . a = a (8)(存在逆元) a ≠ 0 , a ( 1 a ) = 1 a\neq 0,a(\frac{1}{a})=1 a  ​ = 0 , a ( a 1 ​ ) = 1 (9)(分配律) a ( b + c ) = a b + a c a(b+c)=ab+ac a ( b + c ) = a b + a c 我们知道,为了研究一元多次方程的根,实数域是远远不够的。如方程 x 2 + 1 = 0

走进基础数学—一位学霸的心路历程

巧了我就是萌 提交于 2020-02-21 02:54:30
作者 | 何通木 来源 | 知乎 大家好,我是来自清华大学数学系的准大四学生何通木。学了三年现代数学,我想把自己的一些感悟记录下来。回头看这三年,觉得走了很多弯路、做了很多意义不大的事情,想来是跟学长、老师们的深层次沟通少了,所以想用剖析自己的经历、优缺点的方式,向大家展示一个天分普通的学生的本科学习历程,希望后来人能够更好地利用这三年时间。 对于不想从头看到尾的同学,可以根据目录挑选想看的部分,也可以只看第八节:修习顺序建议。以下观点仅为个人观点,欢迎大家讨论! 目录 一、指导思想 二、最基本的语言:数分、线代、抽代、拓扑、流形 三、启发性的直观:黎曼曲面、微分拓扑、微分几何 四、大一统的理论:代数拓扑、代数几何 五、辅助性的工具:同调代数、交换代数 六、数学的皇后:代数数论 七、准备丘赛 八、修习顺序建议 九、附录:课程大纲 一、指导思想:广度优先 为什么我是大三结束的时候来写这篇建议呢,因为到了大四大家已经要开始准备自己那一个小方向的毕业论文了,前三年才是基础数学的基础性学习阶段。老师们都说,在本科时候要多学点东西;丘成桐先生也经常说,数学家至少要精通两个方向,才有可能发现不同方向的联系,才能做出大成就。“发现不同学科的联系”是我逐渐领悟到的努力目标,其本质是更好地理解数学,同时也是把冗余的东西缩并起来,化归到自己原有的知识体系中。 所以这篇建议的(来源于我的)局限性在于

初等代数

匆匆过客 提交于 2020-01-14 04:48:19
初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法,更确切的说,是研究实数和复数,以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数的中心内容是解方程,因而长期以来都把代数学理解成方程的科学,数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。 要讨论方程,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。 由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身,因而在代数中,它们都可以进行四则运算,服从基本运算定律,而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算,以区别于只包含四种运算的算术运算。 在初等代数的产生和发展的过程中,通过 解方程 的研究,也促进了数的概念的进一步发展,将 算术中讨论的整数和分数的概念 扩充到有理数的范围,使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容,就是数的概念的扩充。 有了有理数,初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是,有些方程(i 2 =-1)在有理数范围内仍然没有解。于是,数的概念在一次扩充到了实数,进而又进一步扩充到了复数。(实际上, 实数与数轴上的点一一对应,复数则可以用平面直角坐标系上的点来表示 。后来,人们又将复数与平面向量联系起来,并使其在电工学、流体力学

【转载】数学体系

谁说胖子不能爱 提交于 2019-12-03 05:16:32
为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的,是要 想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来,我在刚来这个学校的时候,并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目,是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上,使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework,在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病,那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上,开始的时候,我也是和Vision中很多人一样,想着去做一个Graphical Model——我的导师指出,这样的做法只是重复一些标准的流程,并没有很大的价值。经过很长时间的反复,另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信,一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的,原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动,和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。 在深入探索这个题目的过程中

[转]在数学的海洋中飘荡

假装没事ソ 提交于 2019-11-27 06:23:16
以下资料来自 Dahua 的博客,非常可惜后来该博客关闭了。 在过去的一年中,我一直在数学的海洋中游荡,research进展不多,对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生,我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的,是要想爬上巨人的肩膀,希望站在更高的高度,能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来,我在刚来这个学校的时候,并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目,是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上,使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework,在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具,但是,我认为它不是panacea,并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病,那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上,开始的时候,我也是和Vision中很多人一样,想着去做一个Graphical Model——我的导师指出,这样的做法只是重复一些标准的流程,并没有很大的价值。经过很长时间的反复,另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信,一个图像是通过大量“原子