图论

DP&图论 DAY 7 上午 图论练习题 P2176 [USACO14FEB]路障Roadblock 先跑最短路（最多n条边，否则出环） 枚举每条边，加倍，再跑 dijkstra 取最大 P2939 [USACO09FEB]改造路Revamping Trails Solution 分层图最短路 从上一层到下一层，起点之间连边 Solution 暴力N^2建边 然后发现有一些边是没用的 假设存在3个点 （x1,y1） （x2,y2） （x3,y3） min( |x1-x3| , |y1-y3| ) = x3-x1 --->min( |x1-x2| , |y1-y2| ) + min( |x2-x3| , |y2-y3| ) 所以如果存在一条路径，st. point1--->point3 = point1-->point2 + point2-->point3 所以就把路径换成 1--2+2-->3 ，这样一定不会差 对于所有点，x从小到大排序，y从小到大排序，相邻两点之间连边，不允许跳点的跑路 跑最短路 P2502 [HAOI2006]旅行 Solution 。最小边越大，最大边也越大，不能满足二分性质 。枚举最小边，固定最小边，最小化最大边，最小生成树 kruscal 一开始 sort 一遍 枚举每个最小边，O(M) 克鲁斯卡尔 Solution 最近距离最远，可以二分 N^2连边

BZOJ 3445 Roadblock 先跑一边最短路,然后枚举最短路上的每条边,将路径翻倍然后跑Dijstra. 因为不在最短路径上的边没用贡献,然后最短路径最长为 n−1 复杂度 O(nmlogm) BZOJ 1579 道路升级 两维：k使用了多少次更新，u最短路ww咱可以跑dp？ 分层图，第一层：原图，第二层内部：原图，然后从第一层点u向第二层点v连一条长度为0的边，从第二层点v再向第一层点u连一条长度为0的边。 因为有可能用不完k个，所以需要从u到u连一条长度为0的边（单向的） BZOJ 4152 The Captain 假设 \(x_1<x_2<x_3\) 那么选择 \(x_3\) 不如选择 \(x_1->x_2\) ,再选择 \(x_2\) 到 \(x_3\) 按x轴排序，相邻的点建边，然后就是O（n）； 按照某维坐标排序，相邻两个点在这一维度上的差值最小，所以两两连边，长度为这一维度上的差值(不用考虑另外一维度的，就算另外一维度的更小，在连另外一维度的时候也能够抵达）。然后跑最短路即可。 BZOJ 1050 旅行 COMF 枚举最小边，然后大概就是跑最小生成树的思路，然后找最大边 枚举最小边，用更大的边做 Kruskal，当 S 和 T 连通立即 Break。 LCT，从大到小加边维护最小生成树。 1.边按权值排序，标号1~m 2.初始化一个枚举起点sta=1 3

3 负环及其应用 3.1 判定算法 判断负环只能用“边松弛”算法，也就是Bellman-Ford和SPFA算法。这两个算法都是 \(O(NM)\) 级别的。因为负环中一定存在一条负边，使得 \(dis_i > dis_j+d(i,j)\) 恒成立。因此，在用边松弛算法时，如果一条边被松弛超过一定次数，我们就可以判定图中存在负环。负环则代表环上的边权和小于0。在负环上走若干圈，则 \(dis_i\) 可以趋近 \(-\infty\) 。 Bellman-Ford算法 如果经过 \(n\) 轮迭代后，仍然有边可以被更新，则图中存在负环。 否则，如果在 \(n-1\) 轮迭代后，如果不能更新任何一条边，则图中不存在负环。 SPFA算法 设 \(|\Gamma_i|\) 表示从源点到 \(i\) 的最短路包含的边数。规定 \(|\Gamma_S|=0\) 。当转移 \(dis_y = dis_x + d(x,y)\) 成立时，我们同时令 \(|\Gamma_y| = |\Gamma_x| + 1\) 。在任意时刻，如果有 \(|\Gamma_y| \geq n\) ，则图中有负环。 我们也可以用入队次数来判断。如果一个节点被入队 \(n\) 次以上，则图中存在负环。 当然， 前面 也介绍过一种基于DFS的SPFA判断负环的方法。这种方法速度较快，但是比较专一。在计算最短路时

DP&图论 DAY 6 上午 双连通分量 从u-->v不存在必经边，点 点双连通分量 边双连通分量 点/边双连通分量缩点之后变成一个树 找连通块的时候不越过割点或者桥 P3469 [POI2008]BLO-Blockade 1.不删割点，减少 2（n-1） 2.删割点，图分裂多个联通快，连通块大小*其他所有连通块大小 缩点之后得到一个树 P2860 [USACO06JAN]冗余路径Redundant Paths 缩点之后变成树，加多少边 二分图 无向图 二分图：点黑白染色，邻点不同色。 > 二分图的等价条件 二分图匹配 分成两列，左右相连 匈牙利算法 匹配边比非匹配边少1，然后交换，匹配边多1 dfs 一个点的匹配边只有一个 网络流 最小顶点覆盖 Knoig 定理 一个点，可以选中所有临边 国际棋盘是黑白染色的 POJ 3041 Asteroids Solution 坐标图建图 x 坐标一列， y 坐标一列，然后对于一个坐标，x 坐标向 y 坐标连边 最小覆盖=最大匹配 最小路径覆盖 原图中的路径和二分图中的匹配数是一一对应的 要使得每个点唯一入度唯一出度，才能保证匹配 一个选中的边确定了一个出点得到匹配 没有入边的点只能放飞自我等待匹配 BZOJ 2150 部落战争 Solution 差分约束 BZOJ 2330 糖果 Solution 1.建边 X=1 A >= B&&A <=

文章目录 最短路 bfs求0/1最短路:电路维修 分治最短路:[Zjoi2016]旅行者 分块floyd：Problem M. Walking Plan floyd的本质:最优路线 test2018-2-28旅途 noip2017d1t3逛公园 floyd传递闭包+bitset优化 墨墨的等式 小凯的疑惑 差分约束 bzoj2788: [Poi2012]Festival 最短路 bfs求0/1最短路:电路维修 luoguP2243 电路维修 权值仅0，1，即可O(1)维护单调队列做dijkstra。用双端队列实现。 // luogu-judger-enable-o2 //Achen # include <bits/stdc++.h> # define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++) # define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--) # define Formylove return 0 const int N = 507 ; typedef long long LL ; typedef double db ; using namespace std ; int T , n , m , d [ N ] [ N ] , tx [ 5 ] = { - 1 , - 1 , 1 , 1 } , ty [ 5

DP&图论 DAY 6 下午 考试 3 5 10 3 1 3 437 1 2 282 1 5 328 1 2 519 1 2 990 2 3 837 2 4 267 2 3 502 3 5 613 4 5 132 1 3 4 10 13 4 1 6 484 1 3 342 2 3 695 2 3 791 2 8 974 3 9 526 4 9 584 4 7 550 5 9 914 6 7 444 6 8 779 6 10 350 8 8 394 9 10 3 7 10 9 4 1 2 330 1 3 374 1 6 194 2 4 395 2 5 970 2 10 117 3 8 209 4 9 253 5 7 864 8 5 10 6 样例输入 437 526 641 样例输出 题解 >50 pt dij 跑暴力 （Floyd太慢了QWQ O（n^3）） 枚举每个点作为起点，dijkstra，跑暴力 O( (n+m)logn )，寻找全局最短路 #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; inline

没有用的话qaq : Ummmm...图论的大部分知识本来早就有学过，只是一直没有写成博文来梳理，但既然上了qbxt DP图论就写一篇来总结下 ， 主要是来听DP的，但...由于太菜的原因，DP听得天花乱坠QWQ ** 一，图：图是边和点组成的几何体 G=< V , E > V是点集合，E是边集 形如这样的东西就是一个图 二，图的相关基本概念 1，边：图上连接点和点之间的东西叫做边，图上边分为有向边和无向边。有向边是有方向的边，无向边是没有方向的边，在图上具体体现为有无箭头。 2，点：图上的点 3，权：就是某个东西的大小，图中一般会存在点权和边权，就是给点赋一个值和给边赋一个值，没有权的情况称为无权，权值为负的时候称为负权（注意以后算法中的负权边） 4，环：无向边中的环就像上图中的1,2,5和2,3,4,5，环的特点是，环上任意一点能到达通过环能回到自己！！有向图的环相同，就是一个点如果能通过一条路径回到自己，我们就说这条路径是一个环，负环的定义为环上所有边权之和小于零。 5，重边：即两个点之间有重复的边，但注意两个点之间重复但方向不同的边不属于重边。 6，有向无环图（DAG）：字面意思，是有向图且没有环的图称为有向无环图，简称DAG，一般与有向图缩点后拓扑排序后,DAG上的DP有关，同时DP的实质是个DAG。 7，路径：从一条边到另一条边的路称为路径，简单路径是一条没有环的路径。

【概述】 1.基本概念 设有图 G=(V,E)，则： 当 V'∈V,E'∈E 时，图 G'=(V',E') 是图 G 的 子图 当 V'∈V,E'={∀x∈V',∀y∈V',(x,y)∈E'} 时，G'(V',E') 是图 G 的 诱导子图 当 G′ 是图 G 的子图，且 G′ 是关于 V′ 的完全图时，子图 G' 为图 G 的 团 当 G' 是团，且不是其他团的子集时，G' 为图 G 的 极大团 当 G' 是极大团时，且点数最多，G' 为图 G 最大团 ，记图 G 的最大团的点数为 w(G) 用最少的颜色个数给点染色且相邻点颜色不同，最少的颜色个数称 最小染色 ，记色数为 λ(G) 当 G′ 中所有点不相邻，最大点集最大的图 G′ 为图 G 的 最大独立集 ，记作 α(G) 当用个数最少的团覆盖图 G 所有的点时，称为 最小团覆盖 ，记作 χ(G) 最大团中颜色必须不同，则有：最大团点数 w(G)<=最小染色数 λ(G) 每个团中最多取一个点，则有：最大独立集 α(G)<=最小团覆盖 χ(G) 2.弦图 将一个环中，不相邻的两个结点相连的边称为 弦 当一张无向图中，任意一个大小超过 3 的环，都存在至少一条弦，那么这张无向图称为 弦图 ，弦图的每一诱导子图一定是弦图，且弦图的任一诱导子图不同构于 环图 Cn(n>3) 【弦图的判定】 设 N(v) 为点 v 相邻的点集，当 {v}

BZOJ 2200 道路和航线重讲ww： FJ 正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到 T 个城镇 (1 ≤ T ≤ 25000)，编号为 1 到 T。这些城镇之间通过 R 条道路 (1 ≤ R ≤ 50000) 和 P 条航线(1 ≤ P ≤ 50000) 连接。每条道路 i 或者航线 i 连接城镇 Ai 到Bi，花费为 Ci。对于道路， 0 ≤ Ci ≤ 10000; 然而航线的花费很神奇，花费 Ci 可能是负数 (-10000 ≤ Ci ≤ 10000)。道路是双向的，可以从 Ai 到 Bi，也可以从 Bi 到 Ai，花费都是 Ci。然而航线与之不同，只可以从 Ai 到 Bi。事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策保证： 如果有一条航线可以从 Ai 到 Bi，那么保证不可能通过一些道路和航线从 Bi 回到Ai。 （有向边不存在于任何一个环，环都是正权无向边）由于 FJ 的奶牛世界公认〸分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇 S 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案，或者知道这是不可能的。 （求从s出发到某个点的单源最短路）；O(nlogn) 把所有无向边加进去，形成若干连通块，看成一个大的点，然后加入有向边，形成一个DAG，如果有连通块的入度为0，直接连通块内跑dijkstar：以已更新的dis为基础ww

说人话： 边双联通： a到b的路径上无必经边 点双联通： a到b的路径上除了a,b没有必经点 tarjan求点双联通： 代码（补图） 割点： 桥： 求点双：强制dfs时不越过割点，即可求出一个块 求边双：dfs时不越过桥 不是割点：减少2n-1 是割点：减少sigmai的大小*其他所有子树的大小 tarjan求桥，然后缩点，会形成一棵树。把树的所有叶子连起来用的边数就是答案 判断： 当且仅当无向图上不含奇环的时候就是二分图 增广路特点：非匹配边比匹配边多一条 寻找增广路：dfs 咕咕咕~ 网络流： 最小割最大流定理：网络流的最大流就是整个图的最小割 dinic:类似匈牙利算法的思路，不断寻找当前最大流能加1的方案 直到不能再加 先dfs一遍，确定每个点到源点s的距离， 同时不断加边，维护当前流量 毒瘤操作：减少某条边的流量 所以就减反向边，边权为0，表示从终点到起点可扩充流量 二分图最大匹配怎么用网络流搞？ 在左边建一个超级源点s，在右边建一个超级汇点t s向每个左边的点建一个流量为1的边，右边的点向t建流量为1的边 二分图中间的点不停的寻找能加流量的路，能加就加，知道不能加 总之最大流就是最大匹配 二分图建图小技巧： 如果有x轴,y轴，且有一个坐标(x0,y0) 则就由x0向y0建一条边 国际象棋棋盘：黑白染色（黑的向白的建边） 就是最小覆盖qwq