图论神仙题大赏 | 易学教程

BZOJ 3445 Roadblock

先跑一边最短路,然后枚举最短路上的每条边,将路径翻倍然后跑Dijstra.

因为不在最短路径上的边没用贡献,然后最短路径最长为 n−1

复杂度 O(nmlogm)

BZOJ 1579 道路升级

两维：k使用了多少次更新，u最短路ww咱可以跑dp？

分层图，第一层：原图，第二层内部：原图，然后从第一层点u向第二层点v连一条长度为0的边，从第二层点v再向第一层点u连一条长度为0的边。

因为有可能用不完k个，所以需要从u到u连一条长度为0的边（单向的）

BZOJ 4152 The Captain

假设\(x_1<x_2<x_3\)那么选择\(x_3\)不如选择\(x_1->x_2\),再选择\(x_2\)到\(x_3\)

按x轴排序，相邻的点建边，然后就是O（n）；

按照某维坐标排序，相邻两个点在这一维度上的差值最小，所以两两连边，长度为这一维度上的差值(不用考虑另外一维度的，就算另外一维度的更小，在连另外一维度的时候也能够抵达）。然后跑最短路即可。

BZOJ 1050 旅行 COMF

枚举最小边，然后大概就是跑最小生成树的思路，然后找最大边

枚举最小边，用更大的边做 Kruskal，当 S 和 T 连通立即 Break。
LCT，从大到小加边维护最小生成树。

1.边按权值排序，标号1~m

2.初始化一个枚举起点sta=1

3.初始化并查集

4.从sta开始顺推，利用并查集加边，直到s与t连通

5.记录当前边编号为r

6.初始化并查集

7.从r逆推，利用并查集加边，直到s与t连通

8.得到当前边编号，记为l

9.[l,r]是一组比较优的可行解，更新答案

10.枚举起点sta变为l+1，返回第3步继续执行

bzoj 1821 部落划分

o(n^2)先建边，选中一条边，代表这条边所联通的点形成一个部落。

1.二分考虑，mid是最远距离，然后所有<mid的边都要在连通块内部，这个时候看是否可以建出k个连通块，如果可以，那么将mid增大，否则减小

2.kruskal选边，从小到大选取，当恰好形成了k个连通块的时候，退出循环。

把一个部落内看做连通块然后最大化所有没选中的边的值，选中n-k条边，停止算法。（那些边权比较小的形成环的边已经在并查集的时候给忽略掉了，并不影响最终答案）；

BZOJ 3714 Kuglarz

询问ci，j实际上是在s[r]和s[l-1]连一条边，然后要将所有边和s[0]连起来，加边以后，跑最小生成树；

推知前缀和，就可以推知a的序列；

询问l,r区间，可以知道s[r]和s[l-1]奇偶性是否相同，然后奇偶性是有传递性，然后让s[0]和s[1~n]都和点0连通，最小生成树；

s[0]显然是偶的，然后如果s[1]是奇的，显然1就有小球rrr。反之没有，然后就这样推就好了？？？

我们想象有一个虚拟的0号盒子，其中没有小球。

比较明显的是知道[i,j]的奇偶性，等价于知道[0,j]与[0,i-1]差的奇偶性，而又由于0号的盒子的奇偶性已知，所以说只要知道[0,1]、[0,2]、...[0,n]的奇偶性，就能知道每一个盒子的奇偶性。又有：如果知道[l,k]和[k+1,r]的奇偶性，就可以得到[l,r]的奇偶性。所以。如果把一次询问[i,j]当作在图上的一条无向边(i-1,j)，那么就需要让每一个节点都与0属于同一个连通块中。这样，我们就把原问题转化为了最小生成树问题。

BZOJ 4144 Petrol

考虑对于每个不是加油站的点，如果剩下的油>d,那么先去d'加满在回来的油量一定也>d?

一次dij处理出每个非加油站的点距离其最近的加油站是哪个，有多远。以所有加油站为原点，做多远最短路。

重构：对一条边，找到其左边点的最近加油站，右边点的最近加油站，然后在这两点之间连一条边r。

枚举原图的边，如果两点最近加油站不同，就将两个加油站连边，边权为两个点到最近加油站的距离和再加上这两个点的距离和，然后跑最小生成树？

首先注意到起点和终点都是加油站;

    假设中途经过某个非加油站的点u，u连到v，离u最近的加油站是x，那么从u到x加油后回到u，再到v一定不比直接从u到v差；

    因为u一定从某个加油站来，设最后经过的加油站为y，u点油量为B1 = b - dis(y,u)，而如果u不可以走到x一定不能走到其他任何加油站自然也到不了终点，如果可以到x加满油也一定可以再从x回来，油量为B2 = b-dis(x,u)  ， 因为dis(y,u) >= dis(x,u)所以B1 <= B2 ;

    考虑重新构图：nr[x]表示离x最近的加油站，dis[x]表示x和nr[x]的距离，可以用多源点dijkstra处理出所有nr[x]和dis[x];

    对于原图中边(u,v) 连边(nr[u] , nr[v] , dis[u] + dis[v] + w(u,v)   ) ;

    这就变成了一个图，只选<=b 的边问两点连通性，可以离线或者用kruskal重构树做；

BZOJ 1880 Elaxia的路线

记四个关键点为 E1,E2,W1,W2。
一条边 < u, v, w > 在从 S 到 T 的最短路上，当且仅当\(D_{S,u} + w + D_{v,T} =D_{u,v}\)。
找出所有同时在 E1 到 E2 和 W1 到 W2 最短路上的有向边，一定无环形成 DAG。
拓扑排序求 DAG 最长路。
注意：对于同时在 E1 到 E2 和 W2 到 W1 最短路上的有向边再做一次

BZOJ 2612 Sums

如果k可以被凑出来，在moda[1]意义下，所有%a[1]==k相等的都可以表示出来

设 a[1] 是最小的，在模 a[1] 意义下，0 到 a[1] − 1 每个位置都有其最小可被表示值。而如果 k 是可被表示的，那么k + a[1], k + 2 × a[1], . . . 都可被表示。故问题转化为求解每个位
置最小可被表示数字。
建立 a[1] 个点，对于每个\(a[j]，j \neq1\)，我们理解为可以花费a[j] 代价从 x 点转移到 (x + a[j]) mod a[1] 点。建边之后从 0号点出发做单源最短路即可。

然后我们画个图李姐一下：