图论

1.最短路 NOI2019 D2T1 我被这题送Fe了/lb 只有zz才会写二维线段树，比如我。 实际上你只需要矩形取min就可以。 kd-tree可以随便过，最慢的点 \(0.1s\) 。 另外一种简单做法是把边压到堆里，每次找到的最小（出发点+边权）的边一定是最优的，然后清空对应的矩形，线段树套set或者并查集都可以过。（stO _rqy Claris Orz) \(n\) 个点， \(m\) 条边的DAG，求删去每个点后 \(1\) 到 \(n\) 最短路。 \(n,m \leq 3\times 10^5\) 。 拓扑排序之后，对每个点 \(x\) 预处理出 \(f_x,g_x\) ，分别表示 \(1->x\) 和 \(x->n\) 的最短路。 按照拓扑序考虑每个点 \(x\) ，同时维护两个集合 \(A,B\) ，分别表示拓扑序在 \(x\) 前、后的点。 这样答案一定形如$f_a+g_b+(a, b), a \in A,b\in B $。 用堆维护上述结构，当 \(x\) 转移到 \(x+1\) 时，只需把 \(x\) 加入 \(A\) ，并把 \(x+1\) 从 \(B\) 中移除，并处理相应影响即可。 \(n\) 个点， \(m\) 条边的有向图，计算每个点传递闭包大小，允许误差，最多差两倍。 \(n,m\leq 2\times 10^5\) 。 SD省集讲过…

提供一些常用图论算法的链接： 　　最短路径算法总结：https://zhuanlan.zhihu.com/p/33162490 　　松弛技术介绍（某些最短路径算法的手段）：https://www.cnblogs.com/Ash-ly/p/5789746.html 　　 来源： https://www.cnblogs.com/BUAA-Wander/p/11373674.html

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。 ——莱昂哈德·欧拉 起源 说到图论，不得不说数学大神欧拉了，图论起源于一个非常经典的问题——柯尼斯堡七桥问题。 在18世纪初普鲁士柯尼斯堡有一条大河，河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地，河上架有七座桥，把四块陆地联系起来(如上图)。当时许多市民都在思索一个问题:一个散步者能否从某一陆地出发，不重复地经过每座桥一次，最后回到原来的出发地。 欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。用A、B、C、D四个点表示四块陆地，用两点间的一条线表示连接两块陆地之间的一座桥，就得到如下图所示的一个由四个点和七条线组成的图形。 这样，七桥问题就转化为一个抽象图形是否可以“一笔画”的问题，即笔不准离开纸，一口气画成整个图形；且每一条线只许画一次，不得重复。这样的图形能不能一笔画呢? 答案是不能。 因为除了起点和终点之外，我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话，对于每一个中间点来说，当画笔沿某条线到达这一点时，必定要沿另一条线离开这点，并且进入这点几次，就要离开这点几次，一进一出，两两配对，所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此，一个图形能否一笔画必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。 2. 图中的“奇点”个数是0或2。 注意这里的“奇点”指的是每个顶点连的边的个数

【概述】 传递闭包 ：对于一个节点 i，如果 j 能到 i，i 能到 k，那么 j 就能到 k，求传递闭包，就是把图中所有满足这样传递性的节点计算出来，计算完成后，就知道任意两个节点之间是否相连。 简单来说，传递闭包是一种关于连通性的算法，其是指所有点的所能到达的点集。 【传递闭包的计算】 Floyd 可以用来判断图中两点是否连通，在求连通性的同时，可以进行传递闭包计算。 对于一个没有边权的图，可将相邻两点距离设为 dis[i][j]=true，不相邻的两点距离设为 dis[i][j]=false，而后进行 Floyd 算法即可。 for(int k=1;k<=n;k++)//第一重循环为i→j的中间点k for(int i=1;i<=n;i++)//第二重循环为起点i for(int j=1;j<=n;j++)//第三重循环为终点j if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j])//如果i→k的距离加上k→j的距离小于i→j的距离 if(dis[i][k]&&dis[k][j])//更新最短路径 dis[i][j]=true; 来源： https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/99688748

上接： DP&图论 DAY 1 上午 这两个题本质是一个亚子，所以放一起啦 DPDPDPDPDPDPDPDP P1115 最大子段和 题解 因为题目要求的是一段连续的区间 ，所以前缀和搞暴力？？？ 我们设置数组 f[ i ] 表示以 a[ i ] 结尾的最大连续子段和 那么转移？？？ 1.接着上一段，继续构成一段连续的子段 continue the old life 2.自成一段 和过去 say goodbye 转移方程： ans记录最大值就好啦 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; inline int read() { int ans=0; char last=' ',ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') last=ch,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar(); if(last=='-') ans=-ans; return ans; } const int maxn=2e5+10; int n,ans; int a[maxn]; int f[maxn]; int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(); f[0]=0;f[1]

上接： DP&图论 DAY 1 上午 P3183 [HAOI2016]食物链 题解 ◦ 给定n个点m条边的有向无环食物网，求其中有多少条极长食物链。 ◦ n<=10^5，m<=2*10^5 >Solution ◦ 拓扑图dp经典题 ◦ 设f[u]为以节点u为终点的食物链数量。 ◦ 按照拓扑序的顺序转移即可。 处理的时候有些小细节： 1.记录每个点有多少入度：方便topsort 2.有多少出度：出度为0的非单点就是一条食物链的结束，这里可以用一个数组 vis 打标记（万一你记上单点了怎么办QAQ） 3.拓扑序转移：食物链起点的 f[u] 标记为 1 ，不然你以后咋转移？？？ 代码 #include<iostream> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<string> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<queue> using namespace std; inline int read() { int ans=0; char last=' ',ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') last=ch,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') ans=ans*10+ch-'0'

图 对于图的遍历，可以用 邻接表 和 邻接矩阵 来实现。 因为图不同于树结构，图是存在非连续的。所以图无法运用链式结构。 图又有4种情况，分别对应有无权值，有无方向 有权无向图 有权有向图 无权无向图 无权有向图 图的表示方法 邻接表和邻接矩阵 运用邻接表: int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); g[u].push_back(v); g[v].push_back(u); 因为图的各个区域的点的个数不同，所有无法用统一的二维数组，应该用向量数组 运用邻接矩阵: int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); g[u][v]=1; g[u][v]=1; 两个点如果相互连接的话，其邻接矩阵的值就是1 在无向图里要两个都进行赋值1，而在有向图里就只需要赋值一次 所有在无向图里浪费了一半的空间 连通分量模型---求无向图组成的图的个数 对图进行遍历，求有几个区域 思路： 构建向量数组和颜色数组 向量数组用于储存关系，每个向量的头结点代表头，之后的表示与头结点相互连接的边 颜色数组用于存储颜色数值，不同的区域具有不同的颜色，相互连接，可以传递的结点具有相同的颜色数值 无向图，所以a对b，b也对a 建立向量数组，存储后，对颜色初始化 开始对n个结点查询，只要遇到color为初始值的结点就进行该结点的dfs 在dfs中运用栈

最小生成树 Kruskal \(kruskal\) ，一种求最小生成树的算法，其思想与贪心有些相似，具体做法为：、 将边按照边权由小到大排序，每次拿出权值最小的一条边，看它连接的两个顶点是否在同一个连通块中（可以用并查集维护），如果在的话就不使用他，否则就加入生成树，一直加入到边数为 \(n - 1\) 结束 如何证明？ 要我说我也说不明白，还是直接上图吧 图片来自： https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/83589394 复杂度： \(O(mlogm)\) 代码实现： #include <cmath> #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; inline int read() { char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = (x <<3) + (x << 1) + (c ^ 48); return x * f; } const int N = 5011; const int M

图论 test solution T1：潜伏 题目背景 小悠回家之后，跟着母亲看了很多抗日神剧，其中不乏一些谍战片。 题目描述 解放前夕，北平城内潜伏着若干名地下党员，他们居住在城市的不同位置。现在身为地下党第一指挥官的你，想知道地下党员之间的最小通信距离，即从某一地下党员住处前往另一地下党员住处的距离的最小值。 我们可以将北平城视为一张N个点M条边的无向图，每条边连接两个点 ，且长度为 \(w_i\) 。 输入格式 每个测试点包含多组数据。 第一行，给出数据组数 ，之后依次输入每组数据。 每组数据的第一行，N,M,K，分别表示点数，边数，地下党员数。 之后M行，每 \(u_i,v_i,w_i\) 表示第i条边。 之后一行，K个整数代表地下党员所在结点。 结点编号为1到N，保证N>=K。 输出格式 对于每组数据，输出一行一个整数，表示地下党员之间的最小通信距离。 如果最小通信距离为∞，请输出-1代替。 样例输入 3 5 10 3 1 3 437 1 2 282 1 5 328 1 2 519 1 2 990 2 3 837 2 4 267 2 3 502 3 5 613 4 5 132 1 3 4 10 13 4 1 6 484 1 3 342 2 3 695 2 3 791 2 8 974 3 9 526 4 9 584 4 7 550 5 9 914 6 7 444 6 8

边没有负权，最短路最多只有n条边 很暴力的思想： 先跑一遍最短路，找出最短路上的边，枚举每条边，翻倍，放进原图再跑一遍。取最大值 好熟悉啊 分层建图，建k层 每层内部是原图 若原图中u到v有连边，则由本层的u向下一层的v连一条边权为0的单向边 当然对于某些duliu的图（比如边数<k）,用不完k次机会，所以我们还要在本层的u向下一层的u连一条边权为0的边 跑第一层的1到第k层的N的最短路 可能是唯一的 代码： #include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; inline int read() { char ch=getchar(); int x=0;bool f=0; while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-')f=1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); } return f?-x:x; } int n,m,k,head[2000009],cnt; struct Ed { int to,dis,nxt; }edge[20000009]; void add(int fr,int to,int dis) { cnt++; edge[cnt].to=to