集合和逻辑运算
集合
定义
我们把具象和抽象的事物，符号叫做对象，由一定对象构成的一个整体叫做集合，构成集合的每个对象叫做元素。
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作\(\emptyset\)。
含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
性质
1.互异性：对于一个给定的集合，其中的元素一定各不相同。
2.确定性：集合中的元素必须确定。
——例如，“中国的直辖市”构成一个集合，“我国较小的河流”不构成一个集合。
常用数集
非负整数集(自然数集)：\(\N\)
正整数集：\(\N^*\)或\(\N_+\)
整数集：\(\Z\)
有理数集：\(\Q\)
实数集：\(\R\)
表示
我们一般用大写英语字母\(A,B,C,\cdots\)表示集合，用小写英语字母\(a,b,c,\cdots\)表示集合中的元素。
如果\(a\)是集合\(A\)的元素，就说\(a\)属于集合\(A\)，记作\(a\in A\)；相应地，如果如果\(a\)b不是集合\(A\)的元素，就说\(a\)不属于集合\(A\)，记作\(a\notin A\)。
集合的表示方法：
1.列举法：把元素一一列举，用"{ }"括起来
eg.“方程\(x^2+x-2=0\)的所有实数根”组成的集合用列举法表示为\(\{1,-2\}\)。
2.描述法：一般地，如果集合\(I\)中，属于集合\(A\)的任意一个元素\(x\)都具有特征\(p(x)\)，不属于集合\(A\)的元素都不具有特征\(p(x)\)，则称\(p(x)\)是集合\(A\)的特征性质。此时集合\(A\)可描述为\(\{x\in I|p(x)\}\)
eg.设方程\(x^2+x-2=0\)的实数根为\(x\),则“方程\(x^2+x-2=0\)的所有实数根”组成的集合\(B\)用描述法表示为\(\{x\in \R|x^2+x-2=0\}\)，其中\(x^2+x-2=0\)是集合\(B\)的特征性质。
集合间的关系
子集和真子集
一般地，对于两个集合\(A,B\)，若集合\(A\)中任意一个元素都是\(B\)的元素，则说这两个集合有包含关系，称集合\(A\)是集合\(B\)的子集，记作：\(A\subseteq B\)(或\(B\supseteq A\))。所以，任意一个集合\(A\)都是它本身的子集，即\(A\subseteq A\)。
我们规定：空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合\(A\)，都有\(\emptyset \subseteq A\)。
如果集合\(A\)是集合\(B\)的子集，且\(B\)中至少有一个元素不属于\(A\)，那么集合\(A\)叫做集合\(B\)的真子集，记作：\(A\subsetneq B\)或\(B\supsetneq A\)。
用Venn图可表示为：
由此可以推知：
1.对于集合\(A,B,C\)，如果\(A\subseteq B,B\subseteq C\)，则\(A\subseteq C\)。
2.对于集合\(A,B,C\)，如果\(A\subsetneq B,B\subsetneq C\)，则\(A\subsetneq C\)。
幂集
对于一个给定的集合\(A\)，由它所有子集作为元素组成的集合叫做\(A\)的幂集，记作\(P(A)\)。
如果\(|A|=n\)，则\(|P(A)|=2^{|A|}\)。(其中\(|A|\)表示集合\(A\)中元素的个数，或称集合\(A\)的势)
集合的相等
一般地，如果集合\(A\)中每个元素都是集合\(B\)中的元素，且集合\(B\)中每个元素都是集合\(A\)中的元素，则称集合\(A\)等于集合\(B\)，记作\(A=B\)。
由相等的定义可得：如果\(A\subseteq B,B\subseteq A\)，那么\(A=B\)。
集合的运算
交集
由两个给定集合\(A,B\)的公共元素构成的集合叫做集合\(A,B\)的交集，记作\(A\cap B\)。
用Venn图可表示为：
由交集的定义得，对于任意两个集合\(A,B\)，都有：
\(A\cap B=B\cap A\)
\(A\cap A=A\)
\(A\cap \emptyset=\emptyset\cap A=\emptyset\)
若\(A\subseteq B,\)则\(A\cap B=A\)
并集
由两个给定集合\(A,B\)的所有元素构成的集合叫做\(A,B\)的并集，记作\(A\cup B\)。
由Venn图可表示为：
由并集的定义得，对于任意两个集合\(A,B\)，都有：
\(A\cup B=B\cup A\)
\(A\cup A=A\)
\(A\cup \emptyset =\emptyset \cup A=A\)
若\(A\subseteq B,\)则\(A\cup B=B\)
补集
在研究集合间的关系时，如果要研究的集合都是一个给定集合的子集，则称此集合为全集，通常用\(U\)表示。
全集是相对的。
例如，研究数集时，常把实数集\(\R\)作为全集；只研究自然数时，就把自然数集\(\N\)作为全集。
如果知道集合\(A\)是全集\(U\)的一个子集，由\(U\)中所有不属于\(A\)的元素组成的集合，叫做\(A\)在\(U\)中的(绝对)补集，记作：
\(\complement_UA\)(~\(A\))
用Venn图可表示为：
若给定集合\(A,B\)，则\(A\)在\(B\)中的相对补集(差集)由属于\(B\)而不属于\(A\)的元素组成，记作\(B-A\)。
\(A\)在\(B\)中的差集其实就可以理解为\(A\cap B\)在\(B\)中的补集。
对称差
对于给定的集合\(A,B\)，只属于其中一个集合，而不属于另一个集合的元素构成的集合叫做这个集合的对称差，记作：
\(A\Delta B\)(\(A\oplus B\))。
用Venn图可表示为：
集合运算在位运算中的表示
交集：A&B
并集：A|B
补集：~A
对称差：A^B
逻辑运算
逻辑连结词
在逻辑或数学中，我们常用逻辑词连结两个命题组成一个新命题，而常用的逻辑连结词有“且” “或” “非”。
且
若有命题\(p,q\)，用"且"连结可组成一个新命题，记作\(p\wedge q\)。只有\(p,q\)都是真命题时，\(p\wedge q\)才是真命题。
或
若有命题\(p,q\)，用"或"连结可组成一个新命题，记作\(p\vee q\)。只要\(p,q\)中有至少一个是真命题时，\(p\vee q\)就是真命题。
非
若有命题\(p\)，对它加以否定则构成一个新命题，记作\(\neg p\)。\(p\)和\(\neg p\)的真假相反。
异或的表示：\(a \oplus b=(\neg a\wedge b)\vee (a\wedge \neg b)\)
优先级：非>与>异或>或
量词
对于含有变量的语句，当对它赋予一个值或条件时就可以成为一个命题。
全称量词
表示陈述事物全体的量词叫做全称量词，用符号\(\forall\)表示；含有全称量词的命题，叫做全称命题。
设\(p(x)\)是某集合\(M\)所有元素都含有的性质，则一个全称命题可记为：\(\forall x\in M,p(x).\)
存在量词
表示陈述事物个体或部分的量词叫做存在量词，用符号\(\exist\)表示；含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
类似的，一个存在性命题可记为\(\exists x\in M,p(x).\)