命题的否定

范式 什么是范式？ 范式， 通俗地来讲就是一般的公式， 规范的名称， 是科学研究中最基本的概念。 科学研究通常建立在统一的基础上。比如二次方程的一般形式： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^{2} + bx + c = 0 \ (a \not= 0) a x 2 + b x + c = 0 ( a  ​ = 0 ) 对于同一个二次方程来讲， 有无数种变形方式， 为了便于研究， 规定其中一种形式为一般形式， 这就是范式。当然范式不是随便选取的， 要以方便为基础， 不过这就是另一个话题了。 离散数学中的范式 关于什么的范式？ 这篇文章主要讨论离散数学中的命题表达式， 即用连接词将各种命题连接起来， 形成复合命题。因为命题具有等值变化运算， 所以同一个命题有无数种表达方式， 而要对命题进行研究， 首要就是要将命题用一种标准的形式表达出来。这就引入了命题逻辑里的范式概念。 离散数学中范式的关系？ 在离散数学中， 命题的范式并不是唯一的， 由于逻辑运算的特殊性， 几个形式的命题都可以看做是最基本的形式， 而且都有各自的用处。关系并不复杂: 范式 合取范式 析取范式 主合取范式 主析取范式 析取范式 什么是析取范式？ 定义： 设A是一个命题公式， A 中出现的命题变元为 p 1 , p 2 , . . . , p n p_1, p_2, ..., p_n p

一、知识框架图 二、数理逻辑 1.命题符号化 命题：能判断真假的陈述句 命题包含两个要素：陈述句，能判断真假 命题题符号化的步骤： 1 )对于不太好理解的联结词或表达方式，如有必要,做适当的文字翻译。 2 )找出其中所有的原子命题并符号化。 3 )用适当的联结词将原子命题连接起来，如有必要，在适当位置配上括号。 2.真值表 设A是一命题公式, P1,P2.... Pn,为出现在A中的所有命题变元,对P1.P2....Pn，各指定-一个真值,称为对A的一种指派或赋值。 若指定的一种指派使A的值为真,则称这组值为A的成真指派（成真赋值） 若指定的一种指派使A的值为真，则称这组值为A的成假指派（成假赋值） 3.命题公式的等值演算 设A和B是两个命题公式，设P1，P2....Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给定P1,P2....Pn,任一 组真值指派A和B的真值都相同，则称A和B是等值的或等价的，记为A<=>B。 证明两个命题公式等价的方法: 方法1:真值表法。 方法2:等值演算法。 4.命题公式类型 设A是任一命题公式。 若对A的任意赋值，其真值永为真，则称命题公式A为重言式或永真式。 若对A的任意赋值，其真值永为假，则称命题公式A为矛盾式或永假式。 若A不是矛盾式，则称命题公式A为可满足的。 由定义可以看出，任何重言式都是可满足的。 5.极小项与极大项 极小项：在简单合取式中

文章目录 第一章: 第二章: 第四章: 第五章: 第六章: 第七章: 第八章: 第九章: 第十一章: 第一章: 基础: 命题 命题的真值 真值的取值 真命题 假命题 简单命题(原子命题) 复合命题 5个联结词的定义 5个联结词的运算方向 5个联结词的优先级顺序 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Rhvqc5c7-1579571843362)(C:\Users\Janus II\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20200103105543232.png)] 基础: 命题常项 命题变项 合式公式 (命题公式, 公式) 赋值(解释) 成真赋值 成假赋值 真值表 公式的类型: 重言式(永真式) 矛盾式(永假式) 可满足式 等值演算: 等值与等值式 24个基本等值式 等值演算 置换规则 证明两个公式等值: 判断公式的类型: 复合联结词: n元真值函数 8个联结词的全功能集 范式: 对偶式 & 对偶原理 文字 简单析取式 简单合取式 析取范式 合取范式 范式 公式A的析取范式 & 公式A的合取范式 求析取范式 & 合取范式: 主要就是将其中的蕴含和等值全部化掉就好! 而后找到其中的析取范式 & 合取范式的组合! 极小项 & 极大项 主析取范式 主合取范式 以及这两个的求法: 先求析取范式

联言命题及其推理 复合命题是由简单命题通过逻辑联结词组合而成的，它由支命题和联结词两部分构成， 联结词决定复合命题的逻辑性质。根据联结项的不同性质，复合命题分为联言、选言、假、负命题。 一、联言命题概述（且） 联言命题是断定多种事物情况同时存在的一种复合命题，由 联言支、联言联结词 两部分构成。 例1、油哥是学生，并且是兼职作家。 分析：是联言命题。断定了“油哥是学生”和“油哥是兼职作家”两种情况同时存在，联结词是“并且”。 联言命题的结构是：“p且q”。合取词常用“且”、“同时”、“也是”等。汉语中的并列复合句、递进复合句、转折复句一般表达联言命题。 例2、峣峣（yao,直）者易折，皎皎者易污。（并列复句） 例3、悠悠不仅医术好，而且是名医。（递进复合句） 例4、成功需要努力，但仅仅努力是不够的（转折复合句） 例5、逻辑学是基础课和选修课（单句） 联言命题（且）命题中，所有联言支为真，命题为真，否则假。改变联言支的顺序不会导致联言命题真值变化（有效性），但联言命题的意义可能改变（实际意义）。 二、联言推理 1、分解式 指由联言命题的真，推出其部分支命题为真的推理。 例1、良言一句三冬暖，良药苦口利于疾，所以，良言一句三冬暖。 分析：其形式为：“若p且q真，所以，p真”。分解式有助于人们在认识事物全面情况的基础上，重点或强调某一方面的情况。 2、组合式 指由前提中全部命题为真

关系命题及其结构 一、关系命题的定义 关系命题是断定至少两个思维对象之间关系的简单命题。 例1、特朗普与希拉里是竞选总统的对手。 例2、廊坊位于北京与天津的交界处。 例3、工业界很看好人工智能未来。 分析：以上3个命题都断定了某些思维对象之间的关系，都是 关系命题 ，都是简单命题。性质命题所描述的性质可以为某一对象所具有，关系命题所描述的关系只能存在至少两个对象之间。其检验标准为：看命题是否能分解为单个对象的不同命题，不能分解的为关系命题，能分解的则非关系命题。 例4、库里和曾经杜兰特是队友。 分析：是关系命题，它断定“库里”和“杜兰特”之间具有“队友”关系，不能分解为“库里是队友”或“杜兰特是队友”两个命题。 例5、詹姆斯和科比是篮球运动员。 分析：非关系命题。可分解为“詹姆斯是篮球运动员”和“科比是篮球运动员”两个命题。 二、关系命题的结构 关系命题在逻。辑上由关系者项、关系项、量项三部分构成。 关系者项： 是承担一定关系的载体，关系命题的主项。 关系项： 指关系者项所承载的某种关系，是关系命题的谓项，用大写字母R表示。存在于n个关系者之间的关系称为n元关系。 量项：指关系者项被断定的范围。 若不考虑量项，根据关系命题的结构，肯定的二元关系命题形式为： aRb或者R(a,b)，读作：a与b有R关系 。也可以把量词加在关系者项的前面。 例6

性质命题的直接推理 指前提和结论都是性质命题的推理，是依照性质命题的内部结构（量项）进行推理。据前提的数目，可分为直接推理（一个命题推出另一新命题；可再细分为对当关系直推、变形直推）和三段论（两个命题推出一个新命题）。 一、对当关系直接推理 1、反对关系直接推理 据A、E不能同真，但可同假的性质： （1）若A真，则并非E真。 （2）若E真，则并非A真。 例1、所有酒后驾驶都是违法的，所以，并非所有酒后驾驶都不是违法的。（A真，E真） 例2、所有领导讲话都不（是）能信口开河（的），所以，并非所有领导讲话都（是）能信口开河（的）。（E真，并非A真） 2、矛盾关系直推 据A与O、E与I的真假对立关系的性质： （1）若A真，则并非O真；若并非A真，则O真。 （2）若O真，则并非A真；若并非O真，则A真。 例1、所有男人都爱女人，所以，并非有的男人不爱女人。（A真，则并非O真） 例2、并非所有男人都爱女人，所以，有的男人不爱女人。（并非A真，则O真） 例3、有的男人不爱女人，所以，并非所有男人都爱女人。（O真，则并非A真） 例4、并非有的男人不爱女人，所以，所有男人都爱女人。（并非O真，则A真） （3）若E真，则并非I真；若并非E真，则I真。 （4）若I真，则并非E真；若并非I真，则E真。 例5、所有女人都不爱男人，所以，并非有的女人爱男人。（E真，则并非I真） 例6、并非所有女人不爱男人

书名：《离散数学（上）》 清华大学计算机系的教材 离散数学（discrete mathematics)是计算机科学基础理论的核心课程。它包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论、形式语言、自动机和计算集合等。 第一章 命题逻辑的基本概念 第一节 命题 一、什么是命题 命题是一个非真即假的陈述句。 1）命题是一个陈述句。 2）该陈述句表达的内容非真即假。 我们把这样的命题逻辑成为二值逻辑，把以这样命题作为研究对象的逻辑成为古典逻辑。 二、命题变量 我们约定用大写字母表示命题，用小写字母表示命题变量。命题是指具体的陈述句，是有确定的真值；而命题变量的真值不定，只当将某个具体命题代入命题变量时，命题变量化为命题，方可确定其真值。 三、简单命题和复合命题 不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题。它又称原子命题，它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。 把一个或者几个简单命题用联结词（如与、或、非联结所构成的命题称为复合命题，也称为分子命题。 第二节 命题联结词及真值表 联结词分为两类： 1）真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假决定。 2）非真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定。 一、否定词 ┑ 否定词“┑”是个一元联结词。一个命题P加上否定词就构成了一个新的命题。记作 ┑P,这个新命题是命题P的否定，读作

命题连接词 最常见的连接词： 　　“如果” “并且” “不” “如果……则……” “当且仅当” 否定连接词：非 “﹁” 合取连接词：P并且Q >>> “P^Q” P^Q为真当且仅当P\Q同时为真 　　　　　　 注意：P但Q 也是合取，例如：今天天气很冷，但我还是要出门 析取连接词：P或Q >>> “P∨Q” P∨Q为真当且仅当P，Q至少有一个为真 　　　　　　注意：自然语言中的“或”有“可兼或”（同或）和“不可兼或”（异或）两种。 析取连接词代表的是可兼或 。 异或有时候会用“⊕”来表示。 蕴含连接词：如果P则Q >>> “P→Q” P称为蕴含式的前件，Q称为蕴含式的后件。 P→Q为假当且仅当P为真且Q为假。 　　　　　　注意：自然语言中，当前件为假，不管结论真假，整个句子的语义往往无法判断。对于数理逻辑中的蕴含逻辑词来说，当前件P为假时，不管Q的真假如何，P→Q都为真。此时称为“ 善意推定 ” 　　　　　　例如命题：如果∠A和∠B为对顶角，则∠A等于∠B。　　这个命题是真命题。当前件为假时（∠A和∠B实际不是对顶角，但命题叙述中∠A和∠B是对顶角），这个定理依然成立。 等价连接词：P当且仅当Q >>> “P↔Q” P↔Q为真当且仅当P、Q 同时为真假 。 来源： https://www.cnblogs.com/Joey777210/p/11776411.html

欧几里得算法中的归谬法和反证法 逻辑与算法之七 思索《几何原本》第七卷命题1的证明，是一件十分有趣的事情。 回忆我的小学和中学，好像没有学过反证法似的，归谬法更没有印象。不过，这也许是儿时的记忆有误。数学当中，如果一个命题直接不大好证，我们可以绕个弯，先证明它反面不成立，然后就可以推出，那个待证的原命题是成立的。老师说这样证明有效，你还能反驳什么呢？不过，我们的水平难以反驳，后来真有人反驳这一点。 凭什么？一个和原命题相反的命题它不成立，就证明原命题成立了呢？ 这一篇小文，先给出我对原本七卷那个命题1证明的理解。原本证明过程的叙述太为简洁，我加上了一些自己的理解，给出该命题1的证明。这个证明过程，几乎就是在使用归谬法（Reductio ad absurdum），也可以说使用了反证法（proof by contradiction）。读《几何原本》，可以让我们对这两个证明方法有更精准的认知。 第七卷命题1：（《几何原本》第215页，天津科技出版社2019年版） 设有两不等自然数，依次从较大数减去较小数，若所得余数总是无法量尽它前面一数，直至最后余数为1，则该两数为互质数。 证明： 设较大数为AB，较小数为CD，如果该两数满足命题1条件，结果却不是互质数。 1）若AB和CD不是互质数，则依据几何原本命题12互质数定义，至少存在一个数，可被这两个数整除，也就是这两个数一定至少有一个公约数

该书主要讲到了三方面的知识点： （1）第一个知识点叫真值函数。真值说的就是真与假这两个值。一个命题的真值为真，就是说这个命题符合事实。一个命题的真值为假，那它就不符合事实。而函数就像是机器，输入一些值后，就会输出一些值。文中也提高了三个真值函数： 否定：是指把输入的值变成相反的值。输入真就输出假，输入假就输出真。 合取：是要求输入的命题全都为真，输出才为真。哪怕只输入了一个假命题，整体上也会输出假命题。 析取：这个函数只要输入至少1个真命题，整体上就会输出真命题；要全都输入假命题，整体上才会输出假命题 （2）第二个知识点叫模态算子。模态算子一共只有两个，一个叫「必然」，另一个叫「可能」。两者可以互相转化，必然为真，也就是不可能不为真。为了理解模态算子，需要了解可能世界。可能世界是我们设想出来的世界。如果在所有的可能世界中，我都是萌妹子，那我就必然是萌妹子。如果在某一个可能世界中，我是萌妹子，那我就可能是萌妹子。也就是说，必然要求所有可能世界都怎么样，而可能只要求至少有1个可能世界的情况是怎么样的。 （3）第三个知识点叫模糊性。日常生活中的大部分说法都是模糊的，也就是说，微小的变化并不会导致这种说法不成立。一个小孩长大一天后，还是小孩。一个穷人多了一元钱后，还是穷人。但是，在某些情况下，我们又必须追求精确性，排除模糊性。此时就需要武断地划分出一些边界线。比如，大于等于 60