抽屉原理(鸽巢原理)
直观描述
桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
如果有五个鸽子笼,养鸽人养了6只鸽子,那么当鸽子飞回笼中后,至少有一个笼子中装有2只鸽子。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。
内容
1.有至少n+1个物体,分为n组,至少有一组有两件以上。
证明(反证法):如果每组至多只有一个物体,那么物体的总数至多是n,无法容纳n+1个物体,矛盾。
2.有至少个物体,分为n组,至少有一组有m+1件或以上。
证明(反证法):若每组最多有m个物体,则物体总数是,无法容纳件物体,矛盾。
一些表现形式
1.从 1,2,··· ,2n 中选出 n + 1 个整数,一定存在一个数是另一个数的因子。
2.从 1,2,··· ,2n 中选出 n + 1 个整数,一定存在两个数互质。
3.在边长为 n 的等边三角形内选出 5 个点,一定存在一个点到另一个点距离不超过 n/2。
4.任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。
Ramsey定理与Ramsey数
通俗表述
任意6个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。
证明
假设6个人是6个点,如果两人认识则连一条红线,不认识则连一条蓝线,原问题转化为:必然存在一个三角形三边同色。
- 对任意一个点A,其他五个点与A有两种线可连(红、蓝),由抽屉原理知,必然有一种颜色的线连了至少三个点,不妨设红线连接了它们,被连接的点分别记为B,C,D。(另外两个点可以连红线也可以连蓝线)
接下来对BCD这个三角形进行讨论:
- 如果存在一条红线,则这条线必然与刚刚三条红线中的两条形成一个红色三角形。
- 如果不存在红线,即三条均为蓝线,则存在BCD这个蓝色三角形。
此过程可以参考下图。
一般表述
在一个有n个点的图中,用红蓝两种颜色进行着色,无论何种情况必至少存在以下两者之一:(1)一个a个顶点着红颜色的完全子图,或一个b个顶点着蓝颜色的完全子图;(2)一个a个顶点着蓝颜色的完全子图,或一个b个顶点着红颜色的完全子图。最小的满足条件的n即为R(a,b)。
也就是说,R(a,b)的值为满足以下四种条件之一的最小人数n:
- a个人两两认识
- a个人两两不认识
- b个人两两认识
- b个人两两不认识
Ramsey证明,对于给定的正整数k及l,R(k,l)的答案是唯一和有限的。
R(3,3)=6
我们刚刚证明的结果可表述为R(3,3)<=6,因为R(a,b)代表满足条件的最小值,所以不仅要找到满足条件的值n,还要找到一种不满足条件的方案。
下图就是一个5个点不满足条件的涂色方案:
只要有一种无法满足的方案存在,这个n就小于R(a,b),故R(3,3)>5。
因此,5<R(3,3)<=6,即R(3,3)=6。
其他的Ramsey数
虽然R(3,3)的证明十分巧妙,但是实际上已知的Ramsey数非常少,保罗·艾狄胥曾以一个故事来描述寻找拉姆齐数的难度:
“想像有队外星人军队在地球降落,要求取得R(5,5)的值,否则便会毁灭地球。在这个情况,我们应该集中所有电脑和数学家尝试去找这个数值。若它们要求的是R(6,6)的值,我们要尝试毁灭这班外星人了。”
下图是Ramsey数的表格1。因为R(r,s)=R(s,r),所以只给出了上三角形。
其中,绿色格子代表已经确定的Ramsey数,而带有范围的黄色格子表示尚未确定,如R(5,5)在43和48之间,这说明R(5,5)>42且R(5,5)<=48,即存在至少一种方案给42个点涂色使全部条件均不满足,且任意涂色方案给48个点涂色均满足至少一个条件,但对于43~47中的数暂不确定条件是否满足。
目前我们只需要了解 R(1,m) = 1, R(2,m) = m, R(3,3) = 6,R(4,4) = 18即可。
维基百科https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey%27s_theorem ↩︎
来源:CSDN
作者:用炮弹打苍蝇
链接:https://blog.csdn.net/kaixinqi/article/details/87866209