鸽巢原理

我看的是那本老外写的黑黑的书 《组合数学第五版》 。老外写书的时候答案好像没有怎么写，我作为 帅B 就帮大家写写吧（ 郑重声明 ：我不是卖书的就是给大家看看长啥样^_-） 题目 (题号与书上的题号对应，答案在后面）  2.证明从1-200中取100个数且选取的这些数中有一个小于16，那么存在两个选取的整数，使得他们中的一个能被另一个整除。  4.如果集合{1,2,…2n}中选择n+1个整数总存在两个整数他们之间( 没有“最多”二字 )相差1。  5.如果从集合{1,2,…3n}中选择n+1个数那么么总存在两个数它们之间 最多 差2。  7.对任意给定的52个数，要么二者的和能被100整除，要么二者的差能被100整除  8.利用鸽巢原理证明，有理数 m n \frac{m}{n} n m ​ 展开的十进制小数是循环的。例如 34478 99900 = 0.345 , 125 , 125 , 125 , 125 , 12..... \frac{34478}{99900}=0.345,125,125,125,125,12..... 9 9 9 0 0 3 4 4 7 8 ​ = 0 . 3 4 5 , 1 2 5 , 1 2 5 , 1 2 5 , 1 2 5 , 1 2 . . . . .  9.一个房间有10个人，他们当中没有人超过60岁（年龄只能以整数给出）但又至少1岁.   证明

简单形式： [plain] view plain copy print ? 定理：如果有n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个和紫包含两个或者更多的物体。 定理非常的简单，但是真正用好这个定理却需要一定的功底。 eg1.以为国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘国际象棋，但是为了不使自己过于疲劳，他还决定在每周不能下超过12盘。证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋。 [plain] view plain copy print ? 证明： 鸽巢原理的应用最终就是要找到物体和盒子，并且保证物体的数量要比盒子的数量多。 令a1是第一天所下的盘数，a2是第一天和第二天下所下的盘数，以此类推，从而当想知道第n+1到第m天之间的盘数，只需要用am-an就能求出来了。（这里你是否看到了树状数组的影子） 所以 1<=a1<=a2<=........<=a77<=132 所以22<=a1+21<=a2+21<=.......<=a77+21<=153 于是这154个数在1到153之间，运用鸽巢原理,必然存在ai = aj+21。 即 ai - aj = 21，从第 j+1 天到第 i 天共下了21盘棋。 加强形式（可以转换成平均原理）： [plain] view plain copy print ? 令q1,q2.......qn为正整数。如果将 q1+q2+

抽屉原理（鸽巢原理） 直观描述 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。 如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。 内容 1.有至少n+1个物体，分为n组，至少有一组有两件以上。 证明（反证法）：如果每组至多只有一个物体，那么物体的总数至多是n，无法容纳n+1个物体，矛盾。 2.有至少 m ∗ n + 1 m*n+1 m ∗ n + 1 个物体，分为n组，至少有一组有m+1件或以上。 证明（反证法）：若每组最多有m个物体，则物体总数是 m ∗ n m*n m ∗ n ，无法容纳 m ∗ n + 1 m* n+1 m ∗ n + 1 件物体，矛盾。 一些表现形式 1.从 1,2,··· ,2n 中选出 n + 1 个整数，一定存在一个数是另一个数的因子。 2.从 1,2,··· ,2n 中选出 n + 1 个整数，一定存在两个数互质。 3.在边长为 n 的等边三角形内选出 5 个点，一定存在一个点到另一个点距离不超过 n/2。 4.任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。 Ramsey定理与Ramsey数 通俗表述 任意6个人中至少存在3人相互认识或者相互不认识。 证明 假设6个人是6个点