微积分

研究无穷级数关心的问题：到底能不能收敛成一个数？本质是研究数列的收敛性 常数项级数 本质是数列，如研究{xn}的极限存在问题等于研究sum{xn-xn-1}这个级数的收敛性问题 满足线性运算法则：一堆收敛的经过线性运算之后仍然收敛 对于收敛级数，存在结合律（将级数任意加括号后形成的新级数仍收敛于原级数之和）（证明提示：单调数列收敛，其子数列收敛） 必要条件：lim un -> 0 第一眼看这个，如果这个都不满足，那一定不收敛。 就是说正向级数如果是单增的那一定就不收敛（要么极限不存在要么不为0） 重要级数 \begin{equation*} \sum ^{\infty }_{n=1} \ \frac{1}{n^{p}} \end{equation*} p=1的时候是 \begin{gather*} \sum ^{\infty }_{n=1}\frac{1}{\ \ n} \end{gather*} ，lnx的导数就是1/x，所以这个级数是类似于ln(n)的，而 \begin{gather*}\lim _{x\rightarrow \infty } \ \ \ \ln x=\infty \end{gather*} ,所以可以知道此时该级数不是一个数。 然后p<1的时候它更大所以肯定也不是一个数 p>1时收敛（待填坑） \begin{gather*} \sum ^{\infty }_

培养学生数学核心素养，不能制造“数学小糊涂”！ 什么是数学的核心素养？数学素养就是 由社会教育、训练和实践而获得的一种道德修养（或规范）。 两 新旧版数学课程标准的核心指导思想均为以学生发展为本，相较于 2011 版课标着重强调教师注重学生能力发展转变为注重学生数学核心素养的培养，倡导独立思考、自主学习、合作交流的学习模式，并在教育过程中强调重视过程性评价促进学生在不同的学习阶段数学核心素养水平的达成。（学校不能忙活三年，制造出一批“数学小糊涂”！） 相较于 2011 年旧版课程标准 2017 年新版课程标准，首次（！）提出了数学区别与其它学科的核心素养，包括：数学抽象，逻辑推理，数学建模、直观想象，数学运算，数据分析。 同时，并强调数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。这些数学核心素养既相互独立，又相互交融，是一个有机整体。 大家知道，微积分，特别是，无穷小微积分，是培养学生数学和兴素养的最好载体。，没有基本数学素养，不会抽象思维、逻辑推理，怎么懂得无穷小的抽象概念？数学小糊涂，惧怕无穷小微积分。糊里糊涂过日子，好舒服啊！ 袁萌 1 月 22 日 来源： CSDN 作者： yuanmeng001 链接： https://blog.csdn.net

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 原作者：WangBo_NLPR 原文：https://blog.csdn.net/walilk/article/details/50978864 原作者：Eric_LH 原文：https://blog.csdn.net/eric_lh/article/details/78994461 --------------------- 前言 　机器学习中的大部分问题都是优化问题，而绝大部分优化问题都可以使用梯度下降法处理，那么搞懂什么是梯度，什么是梯度下降法就非常重要！这是基础中的基础，也是必须掌握的概念！ 　提到梯度，就必须从导数（derivative）、偏导数（partial derivative）和方向导数（directional derivative）讲起，弄清楚这些概念，才能够正确理解为什么在优化问题中使用梯度下降法来优化目标函数，并熟练掌握梯度下降法（Gradient Descent）。 　本文主要记录我在学习机器学习过程中对梯度概念复习的笔记，主要参考《高等数学》《简明微积分》以及维基百科上的资料为主，文章小节安排如下： 　1）导数 　2）导数和偏导数 　3）导数与方向导数 　4）导数与梯度 　5）梯度下降法 导数 　一张图读懂导数与微分： 　 　这是高数中的一张经典图

本文承接上篇 https:// zhuanlan.zhihu.com/p/24 709748 ，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。 首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数 ，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量 (p×1)对向量 (m×1)的导数 (m×p)，有 ；再定义矩阵的（按列优先）向量化 (mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数 (mn×pq)。导数与微分有联系 。几点说明如下： 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数 是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号 表示上篇定义的m×n矩阵，则有 。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 (mn×mn)，是对称矩阵。对向量 或矩阵 求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 出发更方便。 ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构

无穷小微积分挺近微信平台，进入普及快车道 近年来，国内微信发展、应用十分迅速，潜力巨大。无穷小微积分抢先进入微信传媒，是很有远见的。 大家知道，只要无穷小微积分犹太有人在发声，有部分读者知晓，数学真理的传播就不会停止。人类有了无穷小微积分，逻辑思维水平大提高，外星智慧生命不敢小视人类。 无穷小微积分，直觉易懂，但是，理论基础颇深。例如，转移公理（ Transfer Axiom ），看起来，令人生畏，望而却步。 现在，无穷小微积分虽然是数学的少数派，但是，它顺应世界数学发展大潮流，未来前景不可限量。 伟大的数理逻辑学者哥德尔说：无穷小微积分就是未来的数学分析。普及无穷小微积分，不是乞求读者怜悯、慈悲，而是需要读者的眼光。 在现今的中国，加入无穷小微积分推进者的行进队列是很幸运的事情。 袁萌 12 月 3 日 来源： CSDN 作者： yuanmeng001 链接： https://blog.csdn.net/yuanmeng001/article/details/78698913

机器学习的三个步骤，包括了表示、评价、优化这样三个步骤，在这三个步骤当中会用到不同的数学公式来分别解决这三个问题。用到的基础数学都包括线性代数，概率统计，还有最优化理论。这是在机器学习当中用到的最基础的一些数学工具。 《普林斯顿微积分读本(修订版)》中文PDF，673页，带书签目录，文字可以复制；英文PDF，753页，带书签目录，文字可以复制；《7天搞定微积分》PDF，199页，文字可复制。 下载 https://pan.baidu.com/s/1nWcrcxiuC6sEyx-gGr30cg 提取码: g5zp 《普林斯顿微积分读本(修订版)》，原作名: The Calculus Lifesaver:All the Tools You Need to Excel at Calculus，阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题 所需的知识点, 着重训练解答问题的能力。共30个篇章，外加两个附录，主要是对一些重要的定理进行证明。30个篇章从最基本的函数图像、极限、导数等进行讲起，再到后来微分方程和积分的方法。从每篇文章的编排和作者的表述可以看出作者数学功底的深厚，深入浅出的介绍了各种求导方法和证明极限的过程。 给我的感觉是在和作者进行平等的交流

s 来源： https://www.cnblogs.com/chenxygx/p/11355055.html

以下资料来自 Dahua 的博客，非常可惜后来该博客关闭了。 在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。 为什么要深入数学的世界 作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。 我不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多“下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个图像是通过大量“原子

先从回归(Regression)问题说起。我在本吧已经看到不少人提到如果想实现强AI，就必须让机器学会观察并总结规律的言论。具体地说，要让机器观察什么是圆的，什么是方的，区分各种颜色和形状，然后根据这些特征对某种事物进行分类或预测。其实这就是回归问题。 如何解决回归问题？我们用眼睛看到某样东西，可以一下子看出它的一些基本特征。可是计算机呢？它看到的只是一堆数字而已，因此要让机器从事物的特征中找到规律，其实是一个如何在数字中找规律的问题。 例：假如有一串数字，已知前六个是1、3、5、7，9，11，请问第七个是几？ 你一眼能看出来，是13。对，这串数字之间有明显的数学规律，都是奇数，而且是按顺序排列的。 那么这个呢？前六个是0.14、0.57、1.29、2.29、3.57、5.14，请问第七个是几？ 这个就不那么容易看出来了吧！我们把这几个数字在坐标轴上标识一下，可以看到如下图形： 用曲线连接这几个点，延着曲线的走势，可以推算出第七个数字——7。 由此可见，回归问题其实是个曲线拟合(Curve Fitting)问题。那么究竟该如何拟合？机器不可能像你一样，凭感觉随手画一下就拟合了，它必须要通过某种算法才行。 假设有一堆按一定规律分布的样本点，下面我以拟合直线为例，说说这种算法的原理。 其实很简单，先随意画一条直线，然后不断旋转它。每转一下，就分别计算一下每个样本点和直线上对应点的距离

前言 反三角函数相关的积分,要求掌握求解这类积分的思路。 积分列表 （a>0） 求解 <1> 思路：分部积分 ...... 来源： https://blog.csdn.net/SongBai1997/article/details/98766563