矩阵求导（二）

本文承接上篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/24709748，来讲矩阵对矩阵的求导术。使用小写字母x表示标量，粗体小写字母

表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含所有mnpq个偏导数

，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量

(p×1)对向量

(m×1)的导数

(m×p)，有

；再定义矩阵的（按列优先）向量化

(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数

(mn×pq)。导数与微分有联系

。几点说明如下：

1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数
   
   是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号
   
   表示上篇定义的m×n矩阵，则有
   
   。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为
   
   (mn×mn)，是对称矩阵。对向量
   
   或矩阵
   
   求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵
   
   出发更方便。

3. 
   ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新
   
   ，满足
   
   。
4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如
   
   (mp×nq)，或是
   
   (mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于
   
   中逐个m×n子块分别与dX做内积）不够简明，不便于计算和应用。文献[5]综述了以上定义，并批判它们是坏的定义，能配合微分运算的才是好的定义。

 

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系

，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

1. 线性：
   
   。
2. 矩阵乘法：
   
   ，其中
   
   表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是
   
   (mp×nq)。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
3. 转置：
   
   ，A是m×n矩阵，其中
   
   (mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如
   
   。
4. 逐元素乘法：
   
   ，其中
   
   (mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

 

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，对照导数与微分的联系

，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系

，即能得到导数。

 

再谈一谈复合：假设已求得

，而Y是X的函数，如何求

呢？从导数与微分的联系入手，

，可以推出链式法则

。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

1. 
   。

2. 
   。

3. 
   。可以对
   
   求导来证明，一方面，直接求导得到
   
   ；另一方面，引入
   
   ，有
   
   ，用链式法则得到
   
   。

4. 
   。

5. 
   ，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。可以对
   
   做向量化来证明，一方面，
   
   ；另一方面，
   
   。

 

接下来演示一些算例。

例1：

，X是m×n矩阵，求

。

解：先求微分：

，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：

，对照导数与微分的联系得到

。

特例：如果X退化为向量，即

，则根据向量的导数与微分的关系

，得到

。

 

例2：

，X是n×n矩阵，求

和

。

解：使用上篇中的技术可求得

。为求

，先求微分：

，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧

，对照导数与微分的联系，得到

，注意它是对称矩阵。在

是对称矩阵时，可简化为

。

 

例3：

，A是l×m矩阵，X是m×n矩阵，B是n×p矩阵，exp为逐元素函数，求

。

解：先求微分：

，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：

，再用逐元素乘法的技巧：

，再用矩阵乘法的技巧：

，对照导数与微分的联系得到

。

 

例4【一元logistic回归】：

，求

和

。其中

是取值0或1的标量，

是

列向量。

解：使用上篇中的技术可求得

，其中

 为sigmoid函数。为求

，先求微分：

，其中

为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到

。

推广：样本

，

，求

和

。有两种方法，方法一：先对每个样本求导，然后相加；方法二：定义矩阵

，向量

，将

写成矩阵形式

，进而可以使用上篇中的技术求得

。为求

，先求微分，再用逐元素乘法的技巧：

，对照导数与微分的联系，得到

。

 

例5【多元logistic回归】：

，求

和

。其中其中

是除一个元素为1外其它元素为0的

列向量，

是

矩阵，

是

列向量，

是标量。

解：上篇中已求得

。为求

，先求微分：定义

，

，注意这里化简去掉逐元素乘法，第一项中

，第二项中

。定义矩阵

，

，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到

。

 

最后做个总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是

，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是

；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是

，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是

。

 

 

参考资料：

1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
2. Fackler, Paul L. "Notes on matrix calculus." North Carolina State University(2005).
3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. "The matrix cookbook." Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
4. HU, Pili. "Matrix Calculus: Derivation and Simple Application." (2012).
5. Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics." Wiley, 2019.

来源：https://www.cnblogs.com/psztswcbyy/p/11542362.html