题解 P3773 【[CTSC2017]吉夫特】
做这题的前置知识是 Lucas 定理,可以先做一下 这题 。 我就当大家都会 Lucas 定理了awa。 Lucas 定理: \[ C^m_n\!\equiv\!C^{\left\lfloor\frac{m}{p}\right\rfloor}_{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\times C^{m\mod p}_{n\mod p}\pmod{p} \] 所以我们来看看原式: \[ \prod_{i=2}^k \dbinom{a_{b_i}}{a_{b_{i-1}}}\!\mod 2 \] 重点就在于 \(\!\mod 2\) 这个地方。 由 Lucas 定理可知,原式的答案不是 0,就是 1。 所以我们要保证 \(\forall \dbinom{a_{b_i}}{a_{b_{i-1}}} \equiv 1 \pmod 2\) 。 又因为 \(\dbinom{0}{0}\) , \(\dbinom{1}{0}\) , \(\dbinom{1}{1}\) 为 1, \(\dbinom{0}{1}\) 为 0。 根据 Lucas 定理,每次 \(\mod 2\) 相当于把 \(a_{b_i}\) 和 \(a_{b_{i-1}}\) 二进制拆分,并且保证, \(a_{b_i}\) 为 0 的那个位上 \(a_{b_{i-1}}\) 不能为 1。