问题
给你正整数 \(n,m,p\),其中 \(p\) 是质数。求 \(\dbinom{n}{m} \% p\)(\(\dbinom{n}{m}\) 是组合数,表示 \(n\) 选出 \(m\))。
Lucas定理结论
若 \(p\) 是质数,则对于任意整数 \(1 \le m \le n\),有:
\[\dbinom{n}{m} \equiv \dbinom{n\%p}{m\%p} * \dbinom{n/p}{m/p} \pmod{p}\]
另一种形式:
设 \(n=\sum_{i=0}^k n_i*p^i,m=\sum_{i=0}^k m_i*p^i\)(相当于把 \(n,m\) 写成 \(p\) 进制数),那么有:
\[\dbinom{n}{m} \equiv \prod_{i=0}^k \dbinom{n_i}{m_i} \pmod{p}\]
很显然两种形式意义相同,我们直接证明后面这个式子。
证明
前置知识:多项式同余
前置知识:二项式定理
推导:
\[\because (1+x)^p = \sum_{i=0}^p \dbinom{p}{i} 1^{p-i}*x^i = \sum_{i=0}^p \dbinom{p}{i} x^i\]
\[\therefore (1+x)^p \equiv \sum_{i=0}^p \dbinom{p}{i} x^i \pmod{p}\]
把首项尾项都拎出来,因为中间的项都至少含有一个因子 \(p\),所以在 \(\bmod p\) 意义下为零,因此有:
\[(1+x)^p \equiv 1+x^p \pmod{p}\]
\[\because (1+x)^n = \prod_{i=1}^k (1+x)^{n_i*p^i}\]
利用上面这个结论:
\[\therefore (1+x)^n \equiv \prod_{i=1}^k (1+x^{p^i})^{n_i} \pmod{p}\]
我们又知道 \(\dbinom{n}{m}\) 表示 \((1+x)^n\) 的展开式中 \(x^m\) 的系数。
\(\dbinom{n_i}{m_i}\) 表示 \((1+x^{p^i})^{n_i}\) 的展开式中 \(x^{m_i*p^i}\)
将 \(\dbinom{n_0}{m_0} x^{m_0*p^0},...,\dbinom{n_k}{m_k} x^{m_k*p^k}\) 相乘,可以得到 \(\dbinom{n_0}{m_0}*...*\dbinom{n_k}{m_k} x^m = (\prod_{i=0}^k \dbinom{n_i}{m_i}) x^m\)
回到前面这个同余式,根据多项式同余定理,两个式子同余,那么就有两个多项式的 \(x^m\) 这项的系数同余,于是就有:
\[\dbinom{n}{m} \equiv \prod_{i=0}^k \dbinom{n_i}{m_i} \pmod{p}\]
证毕。
Code
Talk is cheap.Show me the code.
#include<bits/stdc++.h> #define int long long using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); } return x * f; } const int N = 1e5+7; int n,m,p; int fac[N]; int Pow(int x,int y) { int res = 1, base = x; while(y) { if(y&1) res = res*base%p; base = base*base%p; y >>= 1; } return res; } int C(int a,int b) { if(a < b) return 0; return fac[a] * Pow(fac[b],p-2) % p * Pow(fac[a-b],p-2) % p; } int Lucas(int a,int b) { // (a,b) if(!b) return 1; return C(a%p,b%p) * Lucas(a/p,b/p) % p; } void work() { n = read(), m = read(), p = read(); fac[0] = 1; for(int i=1;i<=p;++i) fac[i] = fac[i-1] * i % p; printf("%lld\n",Lucas(n+m,m)); } signed main() { int T = read(); while(T--) work(); return 0; }
感谢
感谢 NCC-79601 【学习笔记】卢卡斯定理,Combatting 卢卡斯定理(十分钟带你看懂) 帮助我学会了卢卡斯定理。
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来源:https://www.cnblogs.com/BaseAI/p/12234591.html