概率论

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先言 本科不好好学习自己的统计学专业，上课研究生后，我留下了悔恨的泪水，最近刚看到三大抽样分布，一头雾水，就在刚刚有那么一点点感觉，那不会的同学可以和我一起顺着我的思路，可能我的思路有缺陷，一定要私信我，一起进步。 正态分布 学习了概率论与数理统计，我们可以轻松的写出正态分布的密度函数与分布函数： 标准正态分布 标准正态分布就是 在这里你要了解一个积分常识： 例如： 所以标准正态分布的密度函数为 伽玛分布的可加性 卡方分布 这系为什么，我们来推一推 因为随机变量x的平方服从 又因为伽玛分布具有可加性，因此n个x的平方相加的密度函数为 到这里我们就知道卡方分布是怎么推到导出来的。 来源： CSDN 作者： 母猪快跑 链接： https://blog.csdn.net/DellvsHuawei/article/details/103874792

还不会的地方： 大数定律，第六章， 3，4章。 连续型函数的概率密度函数 离散型的比较好求，直接带值就可以，重点是连续型的。函数的概率密度函数，就是告诉你X的分布，让你求Y=g(X)的分布。 公式法求一维概率密度函数 首先根据x的区间求出y的区间， 然后根据y=g(x)求出其反函数x=h(y)和x的导数。 把x=h(y)带到X的概率密度函数里边，然后再乘一个导数的绝对值，就是Y的概率密度函数。 不过用公式法必须满足y=g(x)是处处可导的单调函数，如果不是的话，要根据定义去求。 卷积公式求二维概率密度函数 首先根据Z=f（X,Y）用x和z表示y，然后求一下y关于z的偏导。 首先一个负无穷到正无穷的积分，然后是概率密度函数，用z和 x替换y，然后乘一个偏导的绝对值，这个积分自然是关于x积分。 随机变量的数字特征 概率论的本质是研究随机变量，那么怎样研究随机变量呢？ 一个方面就是随机变量的数字特征：期望，方差，协方差。 方差 怎样求方差呢？一个是根据他的定义：Dx=E(X-E(X)) 2 。就是每一个值与均值的差的平方，求期望。遇到一些函数的方差，就用方差的性质： D( C )=0 D(aX+bY=c)=a 2 X+b 2 Y;条件是X和Y要相互独立。 协方差与相关系数 定义：(X-Ex)(Y-Ey)的均值,相关系数是协方差的基础上除以一个根号下DxDy。 来源： CSDN 作者：

目录 1.假设检验的基本问题 2.一个总体参数的检验 3. 两个总体参数的检验 1.假设检验的基本问题 假设检验是推断统计的另一项重要内容，它与参数估计类似，但角度不同，参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。 1.1 假设的陈述 1.对总体参数的具体数值所作的陈述，称为假设，或称为统计假设。 2. 先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，称为假设检验。 3. 通常将研究者想收集证据予以支持的假设称为备择假设，或称为研究假设，用H1或Ha表示。 4.通常将研究者想收集证据予以反对的假设称为原假设，或称零假设，用H0表示。 备选假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的假设检验，称为单侧检验或单尾检验。 在单侧检验中，由于研究者感兴趣的方向不同，又可以分为左侧检验和右侧检验。如果研究者选择的备选假设的方向是“<”，称为左侧检验反之选择是“>”，称为右侧检验。 备选假设没特定的方向性，并含有符号“！=”的假设检验，称为双侧检验或双尾检验。 1.2 两类错误与显著性水平 当原假设为真时拒绝原假设，所犯的错误称为第一类错误， 又称弃真错误。犯第一类错误的概率通常记为a. 当原假设为假时没有拒绝原假设，所犯的错位称为第二类错误，又称取伪错误。犯第二类错误的概率通常记为b。

概率论部分 Chapter 1: 随机事件及其概率 1 随机试验；样本点；样本空间 2 随机事件, 必然事件, 不可能事件, 互不相容事件, 对立事件；随机事件的关系及运算 3 概率的定义 4 概率的性质：有限可加性，减法公式，加法公式，及推论 5 条件概率及乘法公式 6 两个事件相互独立的定义及性质；多个事件相互独立的定义及性质 7 伯努利概率模型 8 全概率公式 9 贝叶斯公式 Chapter 2: 随机变量及其分布 1 随机变量；离散型随机变量；连续型随机变量 2 分布函数及性质 3 离散型随机变量的分布率及性质；连续性随机变量的概率密度函数及性质 4 常见的离散型随机变量的分布：0-1 分布；二项分布；泊松分布 5 常见的连续型随机变量的分布： 均匀分布；指数分布；正态分布 6 随机变量的函数的分布： 离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布（分布函数法和公式法） Chapter 3: 数字特征 1 数学期望;离散型随机变量的期望；连续型随机变量的期望；随机变量的函数的期望 2 数学期望的性质 3 方差；标准差 4 方差的性质 5 变异系数（注：不是很重要） 6 常见随机变量的期望和方差： 两点分布的期望和方差；泊松分布的期望和方差；均匀分布的期望和方差；指数分布的期望和方差；正态分布的期望和方差 Chapter 4 : 随机向量（或称多维随机变量）及其分布 1

文章目录 任务详解： 1.随机试验，样本空间，随机事件 随机试验 样本空间 随机事件 2.概率的定义 3.条件概率与乘法公式 4.全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式 贝叶斯公式 5.独立性 本课程来自 深度之眼 ，部分截图来自课程视频。 【第三章 概率论】3.1概率基础 在线LaTeX公式编辑器 任务详解： 主要介绍了随机试验，样本空间，随机事件，概率的定，条件概率与乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式，独立性等知识点。 掌握目标： 1、了解概率基本概念，掌握条件概率和乘法公式 2、掌握全概率公式和贝叶斯公式 3、掌握事件的独立性 1.随机试验，样本空间，随机事件 随机试验 1.扔硬币 E 1 E_1 E 1 ​ ：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E 2 E_2 E 2 ​ ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 E 3 E_3 E 3 ​ ：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数. E 4 E_4 E 4 ​ ：抛一颗骰子，观察出现的点数. 2.投筛子 样本空间 随机试验E的所有可能结果构成的集合称为E的样本空间 对应上面四个随机试验的样本空间。 S 1 S_1 S 1 ​ :{H,T}; S 2 S_2 S 2 ​ :{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT); S 3 S_3 S 3 ​ :{0,1,2,3}; S

文章目录 随机变量 随机变量   在进行试验时，相对于试验的实际结果而言，我们可能更关注于试验结果的某些 函数 。例如，在掷两枚骰子的试验中，我们并不关心每个骰子的具体数值，而是关心两枚骰子的点数之和。定义： 定义在样本空间上的实值函数，称为随机变量 。由于随机变量的取值由试验结果决定，所以我们也会对随机变量的可能取值指定概率，关于随机变量取值的概率，其性质与事件的概率一致。简单来说，随机变量是事件的数量表现。对于随机变量 X X X ，定义如下函数 F F F F ( x ) = P { X ≤ x } − ∞ < x < ∞ F(x)=P\{X\le x\} \ \ \ -\infty \lt x \lt \infty F ( x ) = P { X ≤ x } − ∞ < x < ∞ 该函数称为 X X X 的 累积分布函数 ，简称 分布函数 。因此对任一给定实数 x x x ，分布函数为该随机变量小于等于 x x x 的概率。显然 F ( x ) F(x) F ( x ) 是 x x x 的单调非降函数（事件的包含关系）。   按照随机变量可能取得的值，可以将随机变量分为两种类型：离散型和连续型。 参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross 来源： CSDN 作者： 就叫昵称吧 链接： https://blog.csdn.net/qq_39378221

　　数据来自于一个不完全清楚的过程。以投掷硬币为例，严格意义上讲，我们无法预测任意一次投硬币的结果是正面还是反面，只能谈论正面或反面出现的概率。在投掷过程中有大量会影响结果的不可观测的变量，比如投掷的姿势、力度、方向，甚至风速和地面的材质都会影响结果。也许这些变量实际上是可以观测的，但我们对这些变量对结果的影响缺乏必要的认知，所以退而求其次，把投掷硬币作为一个随机过程来建模，并用概率理论对其进行分析。 　　 　　概率有时也被解释为频率或可信度，但是在日常生活中，人们讨论的概率经常包含着主观的因素，并不总是能等同于频率或可信度。比如有人分析中国足球队打进下次世界杯的概率是10%，并不是说出现的频率是10%，因为下次比赛还没有开始。我们实际上是说这个结果出现的可能性，由于是主观的，因此不同的人将给出不同的概率。 　　在数学上，概率研究的是随机现象背后的客观规律。我们对随机没有兴趣，感兴趣的是通过大量随机试验总结出的数学模型。当某个试验可以在完全相同的条件下不断重复时，对于任意事件E（试验的可能结果的集合，事件是集合，不是动作），结果在出现在E中的次数占比趋近于某个常量，这个常数极限是事件E的概率，用P(E)表示。 　　我们需要对现实世界建模，将现实世界的动作映射为函数，动作结果映射为数。比如把投硬币看作f(z)，z是影响结果的一系列不可观测的变量，x 表示投硬币的结果，x = f(z)

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 白噪声 ，是一种 功率谱密度 为常数的 随机信号 或 随机过程 。即，此信号在各个频段上的 功率 是一样的。由于 白光 是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而 此信号的这种具有平坦功率谱的 性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一性质的 噪声 信号被称为 有色噪声 。 理想的白噪声具有无限 带宽 ，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。实际上，我们常常将 有限带宽 的 平整信号 视为白噪声，以方便进行数学分析。 1. 统计特性 白噪声过程现实实例 术语白噪声也常用于表示在相关空间的 自相关 为0的空域噪声信号，于是信号在 空间频率 域内就是“白色”的，对于角频率域内的信号也是这样，例如夜空中向各个角度发散的信号。右面的图片显示了计算机产生的一个有限长度的离散时间白噪声过程。 需要指出，相关性和概率分布是两个不相关的概念。“白色”仅意味着信号是不相关的，白噪声的定义除了要求均值为零外并没有对信号应当服从哪种概率分布作出任何假设。因此，如果某白噪声过程服从 高斯分布 ，则它是“高斯白噪声”。类似的，还有 泊松白噪声 、 柯西白噪声 等。人们经常将高斯白噪声与白噪声相混同，这是不正确的认识。根据 中心极限定理 ，高斯白噪声是许多现实世界过程的一个很好的近似

专业术语与日常用语差别还是挺大的。如: 在茆诗松教授主编的《概率论与数理统计教程》（2011年第2版）中有这么一个用于讲解事件（集合）之间相等关系的例题： 假设口袋中有a个黑球与b个白球（a与b均大于零）。现在我们要将这些球一一无返回地摸出来，直到摸完为止。于是，以A记事件“最后摸出的几个球全是黑球”，以B记事件“最后摸出的一个球是黑球”。则粗看好像A≠B，但只要注意到“几个”至少包含“一个”这种情况，则明显有A发生必然导致B发生，亦即A包含于B；反之，B发生也必然导致A发生，亦即B包含于A。由此，根据事件间相等的定义，可得A=B。 我觉得这个例题有问题，因为在我们的日常用语中，“几个”绝对不包含“一个”这种情况。例如，“我们几个一起逛街”这句话中绝对不隐含“我自己逛街”这层含义。如此，“最后摸出的几个球全是黑球”与“最后摸出的一个球是黑球”这两句话就不可能等价了，亦即A≠B。 注： 其实理解专业术语的表达，先要明白事件具体含义及概念间的表达间关系原理。 先说说专业术语的“事件”的具体含义：1、事件A是样本空间S的一个子集。2、当子集A中某个样本点出现了，就说A发生了。3、事件A可以用集合来描述也可以用明白无误的语言来描述。4、必然事件即整个样本空间Ω，不可能事件就是空集∅，单个元素构成的子集称为基本事件。 从“事件”这个专业术语的含义就很好理解“最后一个球是黑球与最好几个球是黑球