title: 层次分析法
date: 2020-02-25 19:14:41
categories: 数学建模
tags: [MATLAB, 评价模型]
mathjax: true
定义
层次分析法(The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法,是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的,它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把 复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构,通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点。
步骤
第一步递阶层次结构
分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。
第二步构造判断矩阵
{1,2,3,...,9}:代表重要程度,逐渐递增
得到一个方阵,我们记为A,对应的元素为\(a_{ij}\).
(1)\(a_{ij}\)表示的意义是,与指标j相比,i的重要程度。
(2)当i=j时,两个指标相同,因此同等重要记为1,这就解释了主对角线元素为1。
(3)\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)
第三步一致性检验
判断矩阵各行(各列)之间成倍数关系
\(a_{ij}\)>0且满足\(a_{ij}*a_{ji}=1\)(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)
在层次分析法中,我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵
若正互反矩阵满足\(a_{ij}*a_{jk}=a_{ik}\),则我们称其为一致矩阵
注意:在使用判断矩阵求权重之前,必须对其进行一致性检验。
\[
\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right]为一致矩阵的充要条件:\left\{\begin{array}{l}{a_{ij}>0} \\{a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1} \\{\left[a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right]=k_{i}\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right]}\end{array}\right.
\]
\[ <Empty \space Math \space Block> \]
一致性检验的步骤
第一步:计算一致性指标CI
\[ CI=\frac{入_{max}-n}{n-1} \]
第二步:查找对应的平均随机一致性指标RI
第三步:计算一致性比例CR
\[ CR=\frac{CI}{RI} \]
如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受;否则需要对 判断矩阵进行修正。
第四步判断矩阵计算权重
归一化
权重一定要进行归一化处理
eg:
方法1:算术平均法求权重
第一步:将判断矩阵按照列归一化 (每一个元素除以其所在列的和)
第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
假设判断矩阵为
\[ A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right] \]
那么算术平均法求得的权重向量
\[
\omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}}(i=1,2,...n)
\]
方法2:几何平均法求权重
几何平均法求权重也有三步:
- 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
- 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
假设判断矩阵为
\[ A=\left[\begin{array}{cccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\{a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\{\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\{a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right] \]
那么几何平均法求得的权重向量
\[
\omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}, \quad(i=1,2, \cdots, n)
\]
方法3:特征值法求权重
假如我们的判断矩阵一致性可以接受,那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
实际建模
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时,都是采用其中某一种方法求权重,而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性,本文采用了三种方法分别求出了权重,再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分,并进行排序和综合分析,这样避免了采用单一方法所产生的偏差,得出的结论将更全面、更有效。
三种权值求平均权值
代码
%% 注意:在论文写作中,应该先对判断矩阵进行一致性检验,然后再计算权重,因为只有判断矩阵通过了一致性检验,其权重才是有意义的。 %% 在下面的代码中,我们先计算了权重,然后再进行了一致性检验,这是为了顺应计算过程,事实上在逻辑上是说不过去的。 %% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法,一定要先对判断矩阵进行一致性检验。 %% 而且要说明的是,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。 %% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵,那么就没有必要进行一致性检验。 % 在每一行的语句后面加上分号(一定要是英文的哦;中文的长这个样子;)表示不显示运行结果 % 多行注释:选中要注释的若干语句,快捷键Ctrl+R % 取消注释:选中要取消注释的语句,快捷键Ctrl+T disp('请输入判断矩阵A') %matlab中disp()就是屏幕输出函数,类似于c语言中的printf()函数 % 注意,disp函数比较特殊,这里可要分号,可不要分号哦 A=input('A='); % 这里输入的就是我们的判断矩阵,其为n阶方阵(行数和列数相同) % [1 3 1/3 1/3 1 1/3;1/3 1 1/4 1/5 1 1/5;3 4 1 1 2 3;3 5 1 1 2 1;1 1 1/2 1/2 1 1;3 5 1/3 1 1 1] % [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1] % 在开始下面正式的步骤之前,我们有必要检验下A是否因为粗心而输入有误 ERROR = 0; % 默认输入是没有错误的 %(1)检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵 [r,c]=size(A); %size(A)函数是用来求矩阵的大小的,返回一个行向量,第一个元素是矩阵的行数,第二个元素是矩阵的列数 %[r,c]=size(A) %将矩阵A的行数返回到第一个输出变量r,将矩阵的列数返回到第二个输出变量c if r ~= c || r <= 1 % 注意哦,不等号是 ~= (~是键盘Tab上面那个键,要和Shift键同时按才会出来),别和C语言里面的!=搞混了 % ||表示逻辑运算符‘或’(在键盘Enter上面,也要和Shift键一起按) 逻辑运算符且是 && (&读and,连接符号,是and的缩写。 ) ERROR = 1; end % Matlab的判断语句,if所在的行不需要冒号,语句的最后一定要以end结尾 ;中间的语句要注意缩进。 %(2)检验是否为正互反矩阵 a_ij > 0 且 a_ij * a_ji = 1 if ERROR == 0 [n,n] = size(A); % 因为我们的判断矩阵A是一个非零方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示 % 判断是否有元素小于0 % for i = 1:n % for j = 1:n % if A(i,j)<=0 % ERROR = 2; % end % end % end if sum(sum(A <= 0)) > 0 ERROR = 2; end end %顺便检验n是否超过了15,因为RI向量为15维 if ERROR == 0 if n > 15 ERROR = 3; end end if ERROR == 0 % 判断 a_ij * a_ji = 1 是否成立 if sum(sum(A' .* A ~= ones(n))) > 0 ERROR = 4; end % A' 表示求出 A 的转置矩阵,即将a_ij和a_ji互换位置 % ones(n)函数生成一个n*n的全为1的方阵, zeros(n)函数生成一个n*n的全为0的方阵 % ones(m,n)函数生成一个m*n的全为1的矩阵 % MATLAB在矩阵的运算中,“/”号和“*”号代表矩阵之间的乘法与除法,对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*” % 如果a_ij * a_ji = 1 满足, 那么A和A'对应元素相乘应该为1 end if ERROR == 0 % % % % % % % % % % % % %方法1: 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % % % 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和) % 第二步:将归一化的各列相加 % 第三步:将相加后的向量除以n即可得到权重向量 Sum_A = sum(A); % matlab中的sum函数的用法 % a=sum(x);%按列求和 % a=sum(x,2);%按行求和 % a=sum(x(:));%对整个矩阵求和 % % 基础:matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素? % % (1)取指定行和列的一个元素(输出的是一个值) % % A(2,1) A(3,2) % % (2)取指定的某一行的全部元素(输出的是一个行向量) % % A(2,:) A(5,:) % % (3)取指定的某一列的全部元素(输出的是一个列向量) % % A(:,1) A(:,3) % % (4)取指定的某些行的全部元素(输出的是一个矩阵) % % A([2,5],:) 只取第二行和第五行(一共2行) % % A(2:5,:) 取第二行到第五行(一共4行) % % (5)取全部元素(按列拼接的,最终输出的是一个列向量) % % A(:) SUM_A = repmat(Sum_A,n,1); % B = repmat(A,m,n):将矩阵A复制m×n块,即把A作为B的元素,B由m×n个A平铺而成。 % 另外一种替代的方法如下: % SUM_A = []; % for i = 1:n %循环哦,不需要加冒号,这里表示循环n次 % SUM_A = [SUM_A;Sum_A]; % end Stand_A = A ./ SUM_A; % MATLAB在矩阵的运算中,“*”号和“/”号代表矩阵之间的乘法与除法,对应元素之间的乘除法需要使用“./”和“.*” % 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可 disp('算术平均法求权重的结果为:'); disp(sum(Stand_A,2) / n) % 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量,然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦) % % % % % % % % % % % % %方法2: 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % % % 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量 Prduct_A = prod(A,2); % prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加 % 第二步:将新的向量的每个分量开n次方 Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n); % 这里对元素操作,因此要加.号哦。 ^符号表示乘方哦 这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方 % 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量 % 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可 disp('几何平均法求权重的结果为:'); disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A)) % % % % % % % % % % % % %方法3: 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % % % 计算矩阵A的特征值和特征向量的函数是eig(A),其中最常用的两个用法: % (1)E=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成向量E。 % (2)[V,D]=eig(A):求矩阵A的全部特征值,构成对角阵D,并求A的特征向量构成V的列向量。(V的每一列都是D中与之相同列的特征值的特征向量) [V,D] = eig(A); %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0) Max_eig = max(max(D)); %也可以写成max(D(:))哦~ % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。 % 下面例子来自博客:https://www.cnblogs.com/anzhiwu815/p/5907033.html % 关于find函数的更加深入的用法可参考原文 % >> X = [1 0 4 -3 0 0 0 8 6]; % >> ind = find(X) % ind = % 1 3 4 8 9 % 其有多种用法,比如返回前2个不为0的元素的位置: % >> ind = find(X,2) % >> ind = % 1 3 %若X是一个矩阵,索引该如何返回呢? % >> X = [1 -3 0;0 0 8;4 0 6] % X = % 1 -3 0 % 0 0 8 % 4 0 6 % >> ind = find(X) % ind = % 1 % 3 % 4 % 8 % 9 % 这是因为在Matlab在存储矩阵时,是一列一列存储的,我们可以做一下验证: % >> X(4) % ans = % -3 % 假如你需要按照行列的信息输出该怎么办呢? % [r,c] = find(X) % r = % 1 % 3 % 1 % 2 % 3 % c = % 1 % 1 % 2 % 3 % 3 % [r,c] = find(X,1) %只找第一个非0元素 % r = % 1 % c = % 1 % 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0 % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算,共有三种运算符:大于> ;小于< ;等于 == (一个等号表示赋值;两个等号表示判断) % 例如:A > 2 会生成一个和A相同大小的矩阵,矩阵元素要么为0,要么为1(A中每个元素和2比较,如果大于2则为1,否则为0) [r,c]=find(D == Max_eig , 1); % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。 disp('特征值法求权重的结果为:'); disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) ) % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。 % % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % % % 当CR<0.10时,我们认为判断矩阵的一致性可以接受;否则应对其进行修正。 CI = (Max_eig - n) / (n-1); RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15 % 这里n=2时,一定是一致矩阵,所以CI = 0,我们为了避免分母为0,将这里的第二个元素改为了很接近0的正数 CR=CI/RI(n); disp('一致性指标CI=');disp(CI); disp('一致性比例CR=');disp(CR); if CR<0.10 disp('因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!'); else disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!'); end elseif ERROR == 1 disp('请检查矩阵A的维数是否不大于1或不是方阵') elseif ERROR == 2 disp('请检查矩阵A中有元素小于等于0') elseif ERROR == 3 disp('A的维数n超过了15,请减少准则层的数量') elseif ERROR == 4 disp('请检查矩阵A中存在i、j不满足A_ij * A_ji = 1') end
作业
评价下表中20条河流的水质情况。 注:含氧量越高越好;PH值越接近7越好;细菌总数越少越好;植物性营养物量介于10‐20之间最佳,超 过20或低于10均不好。
topsis作业,求出四个指标的权重。
代码结果
请输入判断矩阵A A=[1 2 1 4;1/2 1 1 5;1 1 1 3;1/4 1/5 1/3 1] 算术平均法求权重的结果为: 0.3619 0.2761 0.2831 0.0789 几何平均法求权重的结果为: 0.3645 0.2725 0.2852 0.0779 特征值法求权重的结果为: 0.3670 0.2743 0.2813 0.0774 一致性指标CI= 0.0351 一致性比例CR= 0.0394 因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
来源:https://www.cnblogs.com/pxlsdz/p/12364673.html