TSP问题(Traveling Salesman Problem)是数学领域中著名问题之一。假设有一个旅行商人要拜访N个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次(通过禁忌表)，而且最后要回到原来出发的城市，要求路径的总和最小
蚁群算法(AG)是一种模拟蚂蚁觅食行为的模拟优化算法，首先使用在解决TSP（旅行商问题）上。
人工蚁群与真实蚁群对比：
| 相同点 | 不同点 |
|---|---|
| 都是为了寻找最短路径问题 | 人工蚁群具有记忆功能 |
| 都存在个体间的信息交互问题 | 人工蚁群的选择并不盲目性 |
| 都采用根据当前的信息进行随机选择策略 | 人工蚂蚁生活在离散的时间环境中 |
代码部分：
蚁群算法实现核心有两点：1，蚂蚁如何选择下一个城市；2，城市间路径信息素如何更新。
a. 计算城市之间的转移概率：
% 计算城市之间的转移概率
for k = 1:length(allow)
P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
%等式的分子
End
P = P/sum(P); %上面等式的分母部分
在计算出来城市之间的转移概率之后还要用轮盘赌法的原因：
在得到剩下去城市概率，产生一个随机数，基于随机数决定去下面哪一个城市。例如：剩3个城市，概率为：0.1，0.2，0.7，累计概率为：0.1，0.3，0.7，产生一个随机数，随机数为0.21（介于0.1到0.3之间），则去城市2（偏向于选择最大的）。此过程则为轮盘赌，又可说其服从蚁群算法会优先去概率大的地方，但还是随机走。
原文：https://blog.csdn.net/Sue_qx/article/details/82149965
蚁群算法：
>> %%%蚁群算法解决TSP问题%%%%%%%
clear all; %清除所有变量
close all; %清图
m=50;% m 蚂蚁个数
Alpha=1; %%Alpha 表征信息素重要程度的参数
Beta=5; %Beta 表征启发式因子重要程度的参数
Rho=0.1; %%Rho 信息素蒸发系数
NC_max=200; %%最大迭代次数
Q=100; %%信息素增加强度系数
C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1004;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2367;3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975]; %%31个省会坐标
%% 主要符号说明
%% C n个城市的坐标，n*2的矩阵
%% NC_max 最大迭代次数
%% m 蚂蚁个数
%% Alpha 表征信息素重要程度的参数
%% Beta 表征启发式因子重要程度的参数
%% Rho 信息素蒸发系数
%% R_best 各代最佳路线
%% L_best 各代最佳路线的长度
%% 第一步：变量初始化
n=size(C,1);%n表示问题的规模(城市个数) //求出城市的个数
D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵 //用来生成n行n列的零
for i=1:n
for j=1:n
if i~=j % ~=相当于C中的!=，即不等于
D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5; % //D在这里表示的是距离（一个城市到 下一个城市） 当执行一次i，执行n次j时表示的是第一个城市到其他城市的距离。
else
D(i,j)=eps; %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示 意思是同一个省会城市之间的距离为零
end
D(j,i)=D(i,j); %对称矩阵
end
end
Eta=1./D; %Eta为启发因子，这里设为距离的倒数
Tau=ones(n,n); %Tau为信息素矩阵 //矩阵n*n全部赋值为1
Tabu=zeros(m,n);%存储并记录路径的生成 //矩阵n*n全部赋值为0
NC=1; %迭代计数器，记录迭代次数
R_best=zeros(NC_max,n); %各代最佳路线
L_best=inf.*ones(NC_max,1); %各代最佳路线的长度 //Inf*ones（1，N） 1、inf代表正无穷，是一个数字 2、ones（1，N）代表建立一个矩阵，这个矩阵元素全是1，矩阵的尺寸是1行×N列
% 3、两者相乘的结果为一个矩阵，该矩阵尺寸也为1行×N列，只不过元素全为正无穷inf
L_ave=zeros(NC_max,1); %各代路线的平均长度 //比如a=zeros(3,5);就是创建一个3行5列的0矩阵
while NC<=NC_max %停止条件之一：达到最大迭代次数，停止
%%第二步：将M只蚂蚁放到N个城市上
Randpos=[]; %随即存取
for i=1:(ceil(m/n)) % //ceil 是向离它最近的大整数圆整. 如a = [-1.9, -0.2, 3.4, 5.6, 7, 2.4+3.6i] 圆整后：a=[-1,0, 4, 6, 7 ,3+4i]
Randpos=[Randpos,randperm(n)]; %//randperm的函数功能：随机打乱一个数字序列
end
Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';
%//蚂蚁重复城市的次数，比如5个蚂蚁放到4个城市，需要重复两遍才能放完蚂蚁，每次循环产生n个1---n的随机数,相当于随机n个城市，产生城市序列(城市序号出现的次数代表的是有几只蚂蚁在这座城市)
% 循环结束
% Tabu一句表示将m个蚂蚁随机，每个蚂蚁放到前面产生的城市序列中，每个蚂蚁一个城市，需要m个，所以提取前面1：m个序列
% '表示转置，没有多大用处，可能参与后面的计算方便。
% 我感觉如果m,n很大的话，你这样做会产生很大的浪费，计算很多的随机数，这样的话更好，一句就得：(如果变量Randpos后面没有用到的话，如果用到了，还要用你的程序)
%%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，完成各自的周游
for j=2:n %所在城市不计算
for i=1:m %一只一只访问城市
visited=Tabu(i,1:(j-1)); %记录已访问的城市，避免重复访问
J=zeros(1,(n-j+1)); %待访问的城市
P=J; %待访问城市的选择概率分布
Jc=1;
for k=1:n
if length(find(visited==k))==0 %开始时置0
J(Jc)=k;
Jc=Jc+1; %访问的城市个数自加1
end
end
%下面计算待选城市的概率分布
for k=1:length(J)
P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);
end
P=P/(sum(P)); %按概率原则选取下一个城市
Pcum=cumsum(P); %cumsum,元素累加即求和
Select=find(Pcum>=rand); %若计算的概率大于原来的就选择这条路线
to_visit=J(Select(1));
Tabu(i,j)=to_visit;
end
end
if NC>=2 % 迭代次数NC
Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:);
end
%%第四步： 记录本次迭代最佳路线长度
L=zeros(m,1);%开始距离为0，m*1的列向量
for i=1:m
R=Tabu(i,:);
for j=1:(n-1)
L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1)); %原距离加上第j个城市到第j+1个城市的距离
end
L(i)=L(i)+D(R(1),R(n)); %一轮下来后走过的距离
end
L_best(NC)=min(L); %最佳距离取最小
pos=find(L==L_best(NC));
R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:);%此轮迭代后的最佳路线
L_ave(NC)=mean(L);%此轮迭代后的平均距离
NC=NC+1; %迭代继续
%%第五步：更新信息素
Delta_Tau=zeros(n,n); %开始时信息素为n*n的矩阵
for i=1:m
for j=1:(n-1)
Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i); %此次循环在路径（i，j）上的信息素增量
end
Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i); %此次循环在整个路径上的信息素增量
end
Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %考虑信息素挥发，更新后的信息素
%%第六步：禁忌表清零
Tabu=zeros(m,n); %%直到最大的迭代次数
end
%%第七步：输出结果
Pos=find(L_best==min(L_best)); %找到最佳路径（非0为真）
Shortest_Route=R_best(Pos(1),:) %最大迭代次数后最佳路径
Shortest_Length=L_best(Pos(1)) %最大迭代次数后最短距离
figure(1)
plot(L_best)
xlabel('迭代次数')
ylabel('目标函数值')
title('适应度进化曲线')
figure(2)
subplot(1,2,1) %绘制第一个子图形
%% subplot(m,n,p)生成m*n个子图，当前激活第p个子图
%画路线图
%%============================================================
%% DrawRoute.m
%%画路线图
%%————————————————————————————
%% C Coordinate 节点坐标，由一个N*2的矩阵存储
%% R Route 路线
%%============================================================
N=length(R);
scatter(C(:,1),C(:,2));
hold on
%% scatter(X,Y) 中 X和Y是数据向量，以X中数据为横坐标，以Y中数据位纵坐标描绘散点图，点的形状默认使用圈
plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)],'g')
hold on
for ii=2:N
plot([C(R(ii-1),1),C(R(ii),1)],[C(R(ii-1),2),C(R(ii),2)],'g')
hold on
end
title('旅行商问题优化结果')
subplot(1,2,2) %绘制第二个子图
plot(L_best)
hold on %保持图形
plot(L_ave,'r')
title('平均距离和最短距离') %标题
来源：https://blog.csdn.net/weixin_43283397/article/details/99543266