行列式

作者：童哲 链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。 行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的， 理解只需要三步 。这酸爽~ 1，行列式 是针对一个 的矩阵 而言的。 表示一个 维空间到 维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个 维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成 维空间中的一个新立方体。 2，原来立方体有一个体积 ，新的立方体也有一个体积 。 3，行列式 是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。 就这么简单？没错，就这么简单。 所以说：行列式的本质就是一句话： 行列式就是线性变换的放大率！ 理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质： 道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！ 你先进行一个 变换，再进行一个 变换，放大两次的放大率，就是式子左边。 你把“先进行 变换，再进行 变换”定义作一个新的变换，叫做“ ”，新变换的放大律就是式子右边。 然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了

线性代数可以说是在机器学习最最重要的数学工具，也是最最重要的思考方式。学懂了线性代数，机器学习就会变得十分清晰明了。所以明白线性代数的本质是很有必要的，你会明白所有的操作是为了什么，所有变换是怎么进行的，这对我们学习机器学习是很有帮助的。 线性代数的本质 （视频） 该系列视频我觉得非常值得推荐，它阐述了大学老师根本不会跟你讲的一些线性代数的理解，让你知道究竟行列式在算什么（很多人学完了只知道行列式怎么算，却不知道行列式有什么意义），还有矩阵乘法为什么是这样的法则，矩阵的秩到底是什么…… 看完之后，我相信你对线性代数的理解又上了一个层次。 本系列随笔就是学习后的感悟。 来源： https://www.cnblogs.com/cloud--/p/12004680.html

行列式 题目大意 ​ 给定一个无向联通图，求其邻接矩阵行列式。 ​ \(n\leq 3\times 10^4 , m\leq 3\times 10^5\) ，保证每个边双联通分量点数 \(\leq 50\) 题解 ​ 考虑这个邻接矩阵的行列式的意义，在不考虑行列式中的 \(-1\) 系数的情况下，就是选出若干个存在的有向环，不重不漏地覆盖每个点的方案数。 ​ 我们发现一个排列中环与环之间产生的逆序对数是可以忽略的，因此如果每个环都在一个边双内部，答案就是每个边双的答案的乘积。 ​ 考虑一个桥出现在了环中，那么一定是桥的两个端点组成了二元环。 ​ 考虑建出边双树， \(F_{x,0/1}\) 表示 \(x\) 号边双，其与边双树父亲连接的那个点有没有被环覆盖的方案数。 ​ 若 \(x\) 中一个点 \(u\) 与 \(x\) 的某个儿子 \(y\) 中的一个点 \(v\) 组成了二元环，那么我们可视为在 \(x\) 内部的邻接矩阵中， \(u\) 自己添加了一个自环，其权值自带 \(-1\) 的系数，然后求行列式即可算出 \(F_{x,1}\) 同样，我们将 \(x\) 与 \(x\) 父亲连接的点 \(w\) 在邻接矩阵的边都扣抠掉，并加上一个自环即可等价算出 \(F_{x,0}\) #include<bits/stdc++.h> #define debug(x) cerr<<#x

1、行列式的基本性质 （1）行列式行列互换，其值不变 （2）互换行列式的两行，行列式变号；即正变为负，负变为正 （3）如果行列式中某行元素有公因子 C ，则公因子可以提到行列式外 （4）如果行列式中某行元素是两个数之和，则可拆成两个行列式之和 2、行列式的其它常用性质 （1） 如果行列式中有两行成比例或相等，则行列式的值为 0 分析： 　　 根据行列式基本属性的第 2、3 条：任意两行互换位置，行列式符号变换，某行中的公因子可提到行列式外；若两行相等或成比例，则公因子提到行列式外之后，将这两行互换位置，此时行列式的符号应互换，但明显两行变换位置之后行列式的值本身并没有改变，因此行列式的值只能为 0 才符合性质 （2） 行列式中某行元素乘以数K然后加到另一行相应的元素，其值不变 分析： 　　根据行列式基本性质第4条：行列式某行元素是两个数之和时，可将行列式拆成两个行列式之和；因此可将上式中等号右边的行列式拆成原行列式和另外一个行列式相加，根据行列式其它性质的第一条：行列式两行相等或成比例，则行列式的值为0；因此另外的这个行列式的值为0，该性质成立 来源： https://www.cnblogs.com/xmcwm/p/11792176.html

矩阵 矩阵运算 加法 数乘 乘法 转置 特殊矩阵 对角阵 单位阵 数量阵 上下三角阵 对称阵 反对称阵 正交阵 初等矩阵 行阶梯矩阵 行最简矩阵 伴随矩阵 矩阵 逆矩阵 转置 数乘 行列式 秩 可逆矩阵 求逆矩阵的方法 通过伴随矩阵（行列式好求时） 初等变化（行列式不好求时） 初等变换 初等矩阵 等价 矩阵的秩 子式 公式 分块矩阵 运算 来源： https://www.cnblogs.com/vergilwu/p/11769432.html

题目大意：给定n个区间，求： ∑ p ( 1 ) f ( p ) ∏ n i = 1 [ p i ∈ [ L i , R i ] ] , n ≤ 100000 ∑ p ( 1 ) f ( p ) ∏ i = 1 n [ p i ∈ [ L i , R i ] ] , n ≤ 100000 （多组数据XD） 其中p为排列，f(p)表示p中逆序对数量。 题解：看到这个形式很想行列式，事实上，就是一个矩阵，满足第i行的[Li,Ri]是1，其余是0，的行列式。 直接求是三方的，就saygoodbye了。注意到每一行只有一段连续的1，而我们最后想把他消成只有对角线有值的情况。 然后发现，例如，第一列是1的那些行拿出来，选出一个，用其他的减去这一个； 而选啥是随意的，因此显然选一个右端点最靠左的，这样能保证被减去后还以一行连续的1（或者直接一行都是0），也就是可以维护这个题目的性质（否则破坏了性质还做什么）。这样相当于是这些被减去的行会被放到后面考虑。 这个过程直接维护无论怎么办好像都复杂度不够优秀，因此我们需要一个能够整体把一个东西并到另一个东西上，并且能够取出最小值的数据结构，咦，这个好像就是可并堆啊……因此上左偏树。实现的时候顺便求一下每个右端点是在哪一行方便统计行列式的系数。（其实也就顺便发现这个行列式的权值一定是1,0，-1）如果到某个位置发现堆为空，那么行列式是0

\[ \left |\begin{array}{cccc} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right| \] $$ \left | \begin { array }{ cccc } 1 & 6 & 9 \\ 7 & 90 & f ( x ) \\ 9 & \psi ( x ) & g ( x ) \\ \end { array } \right | $$ 如果我们将|换成 （ ）或 [ ]，就得到了矩阵。 \[ \left (\begin{array}{rrrr} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right) \] \[ \left [\begin{array}{llll} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right] \] & 是对齐符号。 l=left c=center r=right Reference: Latex输出行列式、矩阵、方程组 Markdown写的希腊字母表 来源：博客园 作者： 寻松点点 链接：https://www.cnblogs.com/tamkery/p/11588659.html

n阶行列式 完全展开式 排列 逆序数 奇排列 偶排列 行列式性质 行性质与列性质对等（下面行性质存在对应的列性质） 两行交换 两行相同 一行提取共因数k 两行成比例 一行全为0 一行拆两行 一行加减k倍到另一行 按行展开式 同行展开 异行展开 代数余子式 余子式 重要公式 上下三角形 副对角线形 拉普拉斯 范德蒙 克莱姆 抽象n阶方阵行列式公式 转置 提取k倍 乘法公式 伴随 可逆 特征值 相似 一般不存在相加相减 来源： https://www.cnblogs.com/vergilwu/p/11762654.html

from: https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10152644.html#autoid-4-0-0 https://www.cnblogs.com/marsggbo/p/10156077.html 1 | 0 I. 行列式(Determinants)和迹(Trace) 1 | 1 1. 行列式(Determinants) 为避免和绝对值符号混淆，本文一般使用 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) det(A)来表示矩阵 𝐴 A的行列式。另外这里的 𝐴 ∈ 𝑅 𝑛 × 𝑛 A∈Rn×n默认是方阵，因为只有方阵才能计算行列式。 行列式如何计算的就不在这里赘述了，下面简要给出行列式的各种性质和定理。 定理1 ：当且仅当一个方阵的行列式不为0，则该方阵可逆。 定理2 ：方阵 𝐴 A的行列式可沿着某一行或某一列的元素展开，形式如下: 沿着第 𝑖 i行展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑖 𝑘 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑖 , 𝑘 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iaikdet(Ai,k) 沿着第 𝑖 i列展开: 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 ) = ∑ 𝑘 = 1 𝑛 ( − 1 ) 𝑘 + 𝑖 𝑎 𝑘 𝑖 𝑑 𝑒 𝑡 ( 𝐴 𝑘 , 𝑖 ) det(A)=∑k=1n(−1)k+iakidet(Ak,i) 定理3

矩阵行列式的意义：1. 求解2x2矩阵的逆矩阵 2. 求解平行四边形的面积 3. 作为面积因子 1. 求解2x2矩阵的逆矩阵 求2x2矩阵的逆矩阵时，需要用到行列式，前面已经介绍过了 2. 求解平行四边形的面积 平行四边形的一个顶点位于笛卡尔坐标系的原点，将与原点相连的两边当成位置向量，再由两个位置向量构成一个矩阵，此时矩阵的行列式的绝对值，就是平行四边形的面积 假设： 两个向量构成的矩阵为： 则两个向量构成的平行四边形的面积为： 证明 ： v2在v1上的投影为： 平行四边形的高h的平方为： 平行四边形的面积为： 这是一个非常巧妙的结果，矩阵的列向量构造了平行四边形，平行四边形的面积就等于矩阵行列式的绝对值，并且交换矩阵的行或列，面积不变。 3. 作为面积因子 如果有一个区域（形状任意），假设它的面积为Area，对它进行T变换，得到一个新的区域，新区域的面积为原始面积Area乘以变换矩阵行列式的绝对值。变换矩阵的行列式，本质上是一个面积比例 证明： 假设长方形由： 四个向量指定的点，连接起来构成，长方形的面积为： 长方形在变换T下的像，等于对长方形的四个顶点做变换，然后把这些点连接起来。 假设变换T为： 根据上一小节的介绍，长方形经过T变换后的像，为平行四边形，因此像的面积为 的行列式的绝对值，即： 因此，长方形经过T变换后的像的面积，等于长方形的原始面积