十九、行列式的意义

求2x2矩阵的逆矩阵时，需要用到行列式，前面已经介绍过了

平行四边形的一个顶点位于笛卡尔坐标系的原点，将与原点相连的两边当成位置向量，再由两个位置向量构成一个矩阵，此时矩阵的行列式的绝对值，就是平行四边形的面积

假设：

两个向量构成的矩阵为：

则两个向量构成的平行四边形的面积为：

证明：

v2在v1上的投影为：

平行四边形的高h的平方为：

平行四边形的面积为：

这是一个非常巧妙的结果，矩阵的列向量构造了平行四边形，平行四边形的面积就等于矩阵行列式的绝对值，并且交换矩阵的行或列，面积不变。

如果有一个区域（形状任意），假设它的面积为Area，对它进行T变换，得到一个新的区域，新区域的面积为原始面积Area乘以变换矩阵行列式的绝对值。变换矩阵的行列式，本质上是一个面积比例

证明：

假设长方形由：

四个向量指定的点，连接起来构成，长方形的面积为：

长方形在变换T下的像，等于对长方形的四个顶点做变换，然后把这些点连接起来。

假设变换T为：

根据上一小节的介绍，长方形经过T变换后的像，为平行四边形，因此像的面积为

的行列式的绝对值，即：

因此，长方形经过T变换后的像的面积，等于长方形的原始面积，乘以变换矩阵行列式的绝对值。同理，任意形状的区域也满足该性质，因为任意区域本质上由一系列的长方形构成

来源：https://blog.csdn.net/gutsyfarmer/article/details/102736390

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