行列式

Python 矩阵（线性代数） 这里有一份新手友好的 线性代数笔记 ，是和深度学习 花书 配套，还被Ian Goodfellow老师翻了牌。 笔记来自巴黎高等师范学院的博士生Hadrien Jean，是针对“花书”的 线性代数 一章，初来乍到的小伙伴可以在笔记的辅佐之下，了解深度学习最常用的数学理论，加以轻松的支配。 把 理论 和 代码 搭配食用，疗效更好。笔记里列举的各种 例子 ，可以帮初学者用一种更直观实用的方式学好线代。开始前，你需要准备好 Numpy 和 Python 。 然后来看一下，要走怎样一个疗程—— 1 标量、向量、矩阵和张量 △ 标量，向量，矩阵，张量 (左起) 这一课讲了向量和矩阵，以及它们的一些基础运算。另外，这里介绍了 Numpy 的一些相关 函数 ，也浅浅地谈到了 Broadcasting 机制。 2 矩阵和向量的乘法 △ 矩阵与向量的点乘 本小节主要讨论的是， 向量和矩阵的点积 ，我们可以从中了解矩阵的一些属性。之后，便是用矩阵符号来创建一个 线性方程组 ——这也是日后的学习里，经常要做的事情。 3 单位矩阵和逆矩阵 △ 单位矩阵长这样 我们要了解这两种矩阵 为什么重要 ，然后知道怎样在Numpy里和它们玩耍。另外，本小节包含用 逆矩阵求解线性方程组 的一个例题。 4 线性依赖与线性生成空间 线性方程组，除非 无解 ，不然要么有 唯一解 ，要么有

行列式 \[ \left |\begin{array}{cccc} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right| \] $$ \left |\begin{array}{cccc} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right| $$ 矩阵 如果我们将|换成 （ ）或 [ ]，就得到了矩阵。 右对齐 \[ \left (\begin{array}{rrrr} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right) \] 左对齐 \[ \left [\begin{array}{llll} 1 &6 & 9 \\ 7 &90 & f(x) \\ 9 & \psi(x) &g(x) \\ \end{array}\right] \] & 是对齐符号。 l=left c=center r=right Reference: Latex输出行列式、矩阵、方程组 Markdown写的希腊字母表 来源： https://www.cnblogs.com/tamkery/p/11588659.html

无法理解线性代数的原因有很多，本文主要来讲讲各大高校使用的主流教材同济大学版的《线性代数》的问题。 之前写过一篇 无法理解高等数学怎么办 的文章，对同济大学版的《高等数学》教材进行过一些评论，认为这本教授微积分的主流教材的问题在于坡度太陡了，但逻辑主线是没有问题的，所以我们在创作 《马同学单变量微积分》 内容时基本上还能和此书的目录结构保持一致。 但同济大学版的《线性代数》问题就很大了，随便摘选下 豆瓣的书评 ： 这本同济大学版的《线性代数》担得起“误人子弟”这四个字，根子上就有问题，拿着这本书学不好也情有可原。我们在创作 《马同学线性代数》 内容时，虽然目标是覆盖同济大学版的《线性代数》，但迫不得已对逻辑结构、目录结构进行了大规模的调整。 下面来具体讲讲同济大学版的《线性代数》问题出在哪里吧。 1 线性代数的大致内容 1.1 向量、矩阵、行列式 先简单介绍下线性代数讲的是什么内容。一个立方体、一根直线、一个平面都是线性的： 用向量就可以表示它们，比如说下图就展示了可以用三个向量 、 、 以及向量的加减法就可以表示一个立方体： 而矩阵可以对向量进行变换，比如通过旋转矩阵可以让某个正方形变换为旋转后的正方形： 而行列式代表的是矩阵变换前后的面积（体积）之比： 很显然旋转正方形不会导致面积改变，所以旋转矩阵变换前后的面积之比为1，或者说行列式为1： 至此

作者 | 余沾 整理 | 深度传送门（ID: deep_deliver） 导读： 本文主要介绍Hulu在NIPS 2018上发表的《Fast Greedy MAP Inference for Determinantal Point Process to Improve Recommendation Diversity》中，提出的DPP算法解决视频推荐中的多样性问题。 引言 随着机器学习技术日益成熟，机器学习的应用领域也越来越广。其中，推荐领域是机器学习一个比较常见且成功的应用场景。 推荐多样性和相关性是衡量推荐算法常用的标准 ，最近项目团队针对搜索多样性做了大量的研究工作。Hulu陈拉明的推荐算法研究团队在NIPS 2018会议上提出的基于DPP的推荐多样性算法，能较好地提高推荐的多样性和相关性，并且执行效率也十分可观。 我们团队也复现了该算法，具有不错的上线效果。 DPP 的构造 行列式点过程 (Determinantal Point Process, DPP )是一种性能较高的概率模型。DPP将复杂的概率计算转换成简单的行列式计算，并通过核矩阵的行列式计算每一个子集的概率。DPP不仅减少了计算量，而且提高了运行效率，在图片分割、文本摘要和商品推荐系统中均具有较成功的应用。 DPP通过最大后验概率估计，找到商品集中相关性和多样性最大的子集 ，从而作为推荐给用户的商品集。

行列式：gauss消元求。 余子式：去掉一行一列后，剩下的矩阵的行列式组成的矩阵。 代数余子式：余子式根据行列的奇偶性取相反数后的矩阵。 行列式等于 各个位置乘以代数余子式之和。 代数余子式的转置叫伴随矩阵。 伴随矩阵等于逆矩阵乘以行列式。 所以，一遍行列式，一遍逆矩阵，就能知道代数余子式。 进而知道修改某一位置后的行列式，以及删除一行一列后剩下的矩阵的行列式。 时间复杂度 \(O(n^3)\) 。 在一些生成树计数中有用。 来源： https://www.cnblogs.com/lnzwz/p/11409538.html

1.高斯消元 在模意义下依然有效，对主元求逆即可。 甚至可以模合数，需要对两个方程辗转相除，复杂度 \(O(n^3\log p)\) 。 辗转相除法只要能定义带余除法就有效。 逆矩阵：对于矩阵 \(A\) ，定义逆矩阵 \(A^{-1}\) 为满足 \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=e\) 的矩阵。 求逆矩阵可以高斯消元。设有 \(A\cdot A^{-1}=e\) 的形式，把 \(A\) 消元成单位矩阵的过程中，对方程右侧进行同样的操作。 应用：设有方程 \(A\cdot x=b\) （大写字母为矩阵，小写字母为向量），对于不同的 \(b\) 多次求解，可以转化为 \(x=A^{-1}\cdot A \cdot x=A^{-1}\cdot b\) 的形式，避免每次高斯消元。 例题 题意： \(n\) 个点的图，有 \(k\) 个关键点，对每对关键点 \((i,j)\) ，求出从 \(i\) 出发随机游走，遇到的第一个关键点是 \(j\) 的概率。 Sol: 枚举终点 \(k\) ，设 \(f_i\) 表示从 \(i\) 出发，走到的第一个关键点是 \(k\) 的概率。 对每个关键点设一个只进不出的虚点 \(i'\) ，只有当前枚举的终点的 \(f_{k'}=1\) ，其余为 \(0\) 。 然后发现每次高斯消元的不同点只有常数项，那么把常数项看作一个向量

14 正交向量与正交子空间 正交向量 正交就是垂直的另一种说法。两向量正交的判据之一就是其点积 当两个向量的夹角为90度的时候，按照勾股定理x,y满足: 正交子空间 子空间S与子空间T正交，则S中任意一个向量都与T中任意一个向量正交。 15 子空间投影 投影 几何解释：在向量a上寻找与向量b距离最近的一点。从图中可以看出距离点p最近就是穿过b点并与向量a正交的直线与向量a所在直线的交点上。这就是b在a上的投影。如果我们将向量p视为b的一种近似，则长度e=b-p就是这一近似的误差。 因为p在向量a的方向上，因此可以令p=xa，而因为它与e正交，我们可以得到方程： 解得： 投影矩阵 将投影问题用投影矩阵方式进行描述，即p=Pb，其中P为投影矩阵。 则有： 在高维投影 如果a1和a2构成平面的一组基，则平面就是矩阵A=[a1a2]的列空间 已知向量p在平面内，则有 而： 与平面正交，因此e与a1和a2均正交，因此 16 投影矩阵和最小二乘法 投影 如果向量b本身就在A列空间之内，即存在x使得Ax=b，则有： 如果向量b与A的列空间正交，即向量b在矩阵的左零空间N(A)中： 最小二乘法 最优解的含义即为误差最小，这里误差就是每个方程误差值的平方和 误差即为数据点到直线距离的平方和。 对于空间向量b，投影矩阵A的列向量中得到p=[p1 p2 p3]T,投影到矩阵A的零空间中则为e。 17

SPOJ HIGH Highways 无向图生成树计数裸题 #include <iostream> #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std; const int maxn = 205; #define ll long long ll b[maxn][maxn]; // 学过线代都知道求行列式的方法之一就是化成上\下三脚矩阵,对角线元素乘积是行列式值 ll determina(int n) { ll res = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { if (!b[i][i]) { //若果对角线元素为0,把此行都一都移到下一行去 bool flag = false; for (int j = i + 1; j <= n; j++) { //从i+1行开始找i列中的第一个不为0的元素，与现在的行交换 if (b[j][i]) {//找到了该列不为0的元素, flag = 1; //标记,交换 for (int k = i; k <= n; k++) swap(b[i][k], b[j][k]); res = -res;// 换行系数变为负数 break; //退出. } } if (!flag) return 0; //这一行全部为0,行列式值为0 } for (int j

1 作用：对于一张图求生成树数量 矩阵树定理可解决。 2 实现方式 A为邻接矩阵表示两点之间的连接关系 D为度数矩阵存放每个点的度数 根据矩阵的初等变换 基尔霍夫矩阵=D-A; 当然基尔霍夫矩阵就是拉普拉斯矩阵。 有如下几个性质：拉普拉斯矩阵的行列式为0. 拉普拉斯矩阵的任意一个余子式的行列式相等。 　　　　　　　　不连通的无向图的拉普拉斯的任意一个余子式的行列式为0。 本人行列式都不知道是什么...（很弱的 其实行列式就是一个矩阵经过规定的计算方法从而得到的一个数字，有未知数的话其实就是一个多项式，本质上是一个数值。 一阶矩阵 1*1 二阶 2*2 三阶 3*3 以此类推。 一阶矩阵的行列式=就是这个数字？！ 二阶矩阵行列式=a1*b2-a2*b1; 三阶矩阵=具体图像如下。 这个定义看起来已经相当的巧妙了，却让人不算是很好求得样子。 在此之前先介绍其几何意义 1 行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平面多面体的有向面积或有向体积。 2 在线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。 看起来第一个还是很正常的我们具体阐述第一个意义。考虑二阶行列式的几何意义。 这个好像并不是很重要叉积即是 这个平行四边形面积。当然这个几何意义也不是很重要。 余子式 对于一个n阶矩阵A 去掉第i行第j列所形成的矩阵的行列式称为这个矩阵的余子式。表示为A i j 代数余子式 Mi j =(-1)i+j