线性代数

1.特征值的判定方法 2. 特征向量的判定方法 3. 特征值、特征向量的计算步骤 4. 特征值的计算技巧 5. 特征值与特征向量的性质 6. 示例 来源： CSDN 作者： 预见未来to50 链接： https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/103923244

/*--> */ /*--> */ 根据矩阵中包含元素的内容及分布排列形式，可将矩阵如下分类： 图 1 按元素内容及排列形式的矩阵分类及各类矩阵之间的关系 一般矩阵 数域 F 上的 m * n 个数 a ij ， i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n, 排成 m 行 n 列的数表 ，称为 m * n 矩阵，简记为 A=[a ij ] m*n 零矩阵 所有元素都为 0 的矩阵。记为 0 n 阶方阵 行数与列数相等的矩阵。 对角矩阵 不在对角线上的元素皆为 0 的 n 阶方阵。记为 单位矩阵 主对角线上元素都为 1 ，其余元素为 0 的 n 阶方阵。记为 数量矩阵 主对角线上的元素等于同一个数 k 的对角矩阵。 上（下）三角矩阵 主对角线下（上）放元素皆为零的方阵。记为 ， 行向量 m=1 ，即 A 中只有一行的矩阵。记为 列向量 n=1 ，即 A 中只有一列的矩阵。记为 Matlab 实现 一般矩阵 ：直接输入元素用 空格或逗号 隔开，用“ ； ”表示一行的结束，并用 [] 将所有元素括起来。 较大的矩阵可以分成若干行输入，以回车键代替分号。 矩阵的元素可以是 Matlab 表达式。 用 分号 ”;” 附加 一行或一个矩阵。 用 冒号 ”:” 从大矩阵中 提取 小矩阵。 用 两重或多重省略号 ”……” 表示 续行 行向量和列向量为一般矩阵的特殊形式 零矩阵 :

1.引出 在利用Gauss消元法求解线性方程组的过程中，参与运算的只是其中的系数和常数项，将这些系数和常数项写成"表格"的形式来表示求解的过程，于是引入矩阵的概念。 2.定义 矩阵及其初等行变换  ①矩阵 ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 ⋯ a s n ) (1) \left( \begin{matrix} a11 &a12 &\cdots &a1n \\ a21 &a22 &\cdots &a2n \\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ as1 &as2 &\cdots &asn \end{matrix} \right)\tag{1} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ​ a 1 1 a 2 1 ⋮ a s 1 ​ a 1 2 a 2 2 ⋮ a s 2 ​ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ​ a 1 n a 2 n ⋮ a s n ​ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ​ ( 1 ) a ij 称为矩阵的 元素 。元素为实数的矩阵称为 实矩阵 ，元素为复数的矩阵称为 复矩阵 。如果s=n，则(1)式中的矩阵称为 n阶矩阵 或 n阶方阵 两个矩阵完全相同时(行数相同，列数相同，对应元素相同)，称他们 相等 两个或两个以上矩阵，行数相同，列数相同，称它们为 同型矩阵  ②初等行变换

线性代数学习笔记 个人认为， 记在笔记本上的东西没有什么必要 ， 反正最后也不看 ， 相反博客上的看的还会多一点。。 第一部分 行列式 先来考虑最简单的二阶行列式 简单的说就是从左上到右下 - 从右上到左下。。。。 三阶行列式遵循对角线法则 但这对OIer似乎并没有什么用 更一般的 解释一下就是枚举全排列， 然后每行都挑一个数乘起来 ， 注意每一列也只能选一个。 （重要的来了） 性质 有关行的对列也成立 1. 下三角或上三角的行列式是对角线元素的乘积（只要满足有一半全是0即可 ， 另一半不用关） 证明一下就是 ， 最后一行只能选最后一个 ， 在往上走 ， 倒数第二行也只能选倒数第二个 。 。。。 2.对换两行 ， 行列式变为他的绝对值 2.1 若两行相同 ， 则行列式位0 3.转置之后行列式不变 4.可以把同一行的公因数提前 ， 提到行列符号前 4.1 若某一行元素全为0 ， 行列式为0 4.2若两行成比例 ， 行列式为0 5.把某 ==一== 行的数都写成 \((a_i+b_i)\) 的形式则行列式可写成两个新的行列式之和 5.把某一行乘上一个数 k 加到==另一行上== ， 行列式不变 行列式的展开 余子式 消去一行一列 ，剩下的行列式 代数余子式 余子式乘上 \((-1) ^{i+j}\) 用余子式计算行列式 之后略过一些对于OIer来说的废话。。。。。。 矩阵 运算法则 +

本系列博客作为记录花书的一些知识点，一些“显而易见”的，我就不多写了 2.1 标量、向量、矩阵和张量 标量：一个单独的数。 向量：一列数。 矩阵：一个二维数组。 张量：一个数组中的元素分布在若干维坐标的规则网络中，我们称之为张量。 转置：矩阵的转置是以对角线为轴的镜像。 2.2 矩阵和向量相乘 矩阵乘积： 元素对应乘积（Hadamard乘积）：两个矩阵的标准乘积不是指两个矩阵中对应元素的乘积。不过，那样的矩阵操作确实是存在的，被称为元素对应乘积（element-wise product）或者Hadamard 乘积（Hadamard product），记为 A ⊙ B。 点积：两个相同维数的向量 x 和 y 的点积（dot product）可看作是矩阵乘积 x ⊤ y。 2.3 单位矩阵和逆矩阵 单位矩阵： 逆矩阵： 2.4 线性相关和生成子空间 线性相关： 线性无关：如果一组向量中的任意一个向量都不能表示成其他向量的线性组合，那么这组向量称为线性无关。 2.5 范数 1. 2.范数是满足下列性质的任意函数： 3.p=2时，L²范数是欧几里得范数，表示从原点出发到向量x确定的点的欧几里得距离。 4.平方L²范数也经常用来衡量向量的大小，可以简单的通过点积 计算。 5.平方L²范数在计算上比L²范数本身方便，但是它在原点附近增长得十分缓慢。在某些机器学习应用中

线性代数学习笔记 1 矩阵 1.0 矩阵的基本概念 首先需要了解基本的东西,矩阵. 定义一个矩阵 \(A\) 有 \(m\) 行 \(n\) 列,那么可以写成: \[ \begin{matrix} A_{1,1}\ A_{1,2}\cdots A_{1,n}\\ A_{2,1}\ A_{2,2}\cdots A_{2,n}\\ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \\ A_{m,1}\ A_{m,2}\cdots A_{m,n}\\ \end{matrix} \] 我们还可以定义矩阵的数乘为 \(\lambda A\) ,相当于是给矩阵中所有的元素都乘上一个数字. 然后矩阵有如下性质: 结合率: \(ABC=A(BC)\) 数乘结合律: \(\beta(\lambda A)=\beta\lambda A\) ...(自行百度) 有一些特殊的矩阵,我们称之为 \(I\) , \(0\) . \(I\) ,单位矩阵,就是对角线全是 \(1\) ,其他位置都是 \(0\) 的矩阵. \(0\) ,零矩阵,就是所以位置都是 \(0\) 的矩阵. 1.1 矩阵的逆,矩阵的秩 矩阵的逆,就是存在一个矩阵 \(A^{-1}*A=I\) ,我们就称 \(A^{-1}\) 为 \(A\) 的逆矩阵. 矩阵的秩 \(A^{T}\) ,定义就是 \(A^{T}(i,j)=A(j,i)\) .

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 一、什么是线性代数 在中学学过的一元一次方程如下： ax=b 这种一一元一次方程的发展方向有两个， 一是元的数量不变，次数增加，就成了高次方程。这种高次方程，我们比较关心的是它的根。在代数学上的体现就是多项式理论，尤其是因式分解。 二是元的次数不变，增加元的个数和方程的个数，这就引出了线性议程组。在求解线性议程组的过程中，引入了线性代数的一些主要概念，如行列式，矩阵，向量。 在高次方程，本质上有一个过渡，就是特殊的二次齐次函数，也就是二次型。在研究二次型的过程中，又引入了特征值和特征向量。 这个课程所讲的内容就是二次型+线性方程组，这就是线性代数，再加上高次方程，就是高等代数。 二、讲课内容 第一节 二阶与三阶行列式 1.1 二阶与三阶行列式 1、二阶与三阶行列式的定义 2、二阶行列式的定义 3、三阶行列式的定义 1.2排列、逆序与对换 1、排列 由数字1，2，...，n组成的不重复的每一种确定次序的排序，称为一个n级全排序 对n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序 n级排序的总数为：n! 2、逆序 在一个排列中，若有两个数字是前大后小，则称这两个数构成一个逆序。 一个n级排序中逆序的总数，称为该排列的逆序数 逆序数为奇数的排序称为奇排序，逆序数为偶数的排序称为偶排序， 3、对换 在一个排列中，交换任意两个数

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 怎么求特征值和特征向量？ 实例： ξ是初始单位向量组 A是旋转矩阵。 基本性质： 非奇异也叫做满秩，非退化，可逆 矩阵的行列式与矩阵行列式的转置是一样的 最后结果得出：特征方程一样，则特征值一样。 运用根与系数关系公式直接套就可以。 迹-----所有的对角线元素都加起来。 例题： 方法一:如果不验证有可能不正确，不够严谨。 通过方法二可知等于1这个条件是多余的。 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/2914586/blog/783856

此文仅为学习记录，内容会包括一些数学概念，定义，个人理解的摘要。希望能够分享一些学习内容。 第一节：Row Reduction and Echelon Forms Echelon form: 行消元后的矩阵 Reduced echelon form: 行消元并且leading entry为1的矩阵。 Echelon form and reduced echelon form are row equivalent to the original form. Span{v1, v2, v3,...... vp} is the collection of all vectors that can be written in the form c1*v1 + c2*v2 + ...... cp*vp with c1, .... cp scalars. Ax = 0 has a nontrival solution if and only if the equation has at least one free variable.(not full column rank) Ax = b 的解等于 Ax = 0 和 特解的和。 解线性方程组流程P54。 线性无关指任何向量不能组合成其中一个向量。 Ax = b : ColA1 * x1 + ColA2 * x2 +.... ColAm *

此文仅为学习记录，内容会包括一些数学概念，定义，个人理解的摘要。希望能够分享一些学习内容。 第一节：Row Reduction and Echelon Forms Echelon form: 行消元后的矩阵 Reduced echelon form: 行消元并且leading entry为1的矩阵。 Echelon form and reduced echelon form are row equivalent to the original form. Span{v1, v2, v3,...... vp} is the collection of all vectors that can be written in the form c1*v1 + c2*v2 + ...... cp*vp with c1, .... cp scalars. Ax = 0 has a nontrival solution if and only if the equation has at least one free variable.(not full column rank) Ax = b 的解等于 Ax = 0 和 特解的和。 解线性方程组流程P54。 线性无关指任何向量不能组合成其中一个向量。 Ax = b : ColA1 * x1 + ColA2 * x2 +.... ColAm *