sg函数

博弈论学习笔记 一些概念 组合博弈（combinatorial games) 两个玩家，均可获得完全信息，每一操作均不受随机性影响（例如poker就不是组合博弈） 有偏博弈 两个玩家可以进行的操作有区别，例如象棋和跳棋 无偏博弈 两名选手交替对游戏进行移动，每次一步，选手可以在有限的合法移动集合中任选一种进行移动，双方均知道游戏的完整信息。 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其他因素。 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。 游戏中的同一个状态不可能多次抵达，游戏以玩家无法行动结束，且游戏一定会在有限步后以非平局结束，即状态图无环。 大部分的棋类游戏都不是公平组合游戏。 NIM游戏 有N堆石子，每堆石子的数量是 \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\) ，合法的移动是”选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被 拿空了 ，则 判负 （因为他此刻没有任何合法的移动）。 我们将图上的每一个局面看成图上的一个节点，所有的合法节点形成一个DAG。 P-position：先手必败 N-position：先手必胜 例如3堆石子的NIM游戏 （0，0，0）是必败局面。 （0，0，n）是必胜局面 （0，1，1

巴什博奕 只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物， 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。 分析 (1)当n≤m时,由于一次最少拿1个、最多拿m个,甲可以一次拿完,先手赢。 (2)当n=m+1时，无论甲拿走多少个(1~m个)，剩下的都多于1个、少于等于m 个，乙都能一次拿走剩余的石子,后手取胜。 上面两种情况可以扩展为以下两种情况: A.如果n%(m+1)=0，即n是m+1的整数倍,那么不管甲拿多少，例如k个，乙都 拿m+1-k个，使得剩下的永远是m+1的整数倍,直到最后的m+1个，所以后拿 的乙一定赢。 B.如果n%(m+1)!=0,即n不是m+1的整数倍,还有余数r,那么甲拿走r个，剩下的是 m+1的倍数，这样就转移到了情况(A),相当于甲、乙互换,结果是甲赢。 例题： hdu 2147 题意： 在一个m*n的棋盘内，从(1,m)点出发，每次可以进行的移动是：左移一，下移一，左下移一。然后kiki每次先走，判断kiki时候会赢（对方无路可走的时候）。 分析： 我们可以把PN状态的点描绘出来： 可以发现 n，m 中有一个是2 的倍数，则 为先手获胜，反之，后手必胜。 code： 1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int main( ) 4 { 5 int n,m; 6 while(scanf("

概念： P 点 —— 即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败； N 点 —— 即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。 定理： 一、 所有终结点都是必败点 P （上游戏中，轮到谁拿牌，还剩 0 张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）； 二、所有一步能走到必败点 P 的就是 N 点； 　 三、通过一步操作只能到 N 点的就是 P 点； 又即：只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态，那么当前状态就是胜态。 如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态，那么当前状态就是败态。 Bash Game ： 只有一堆 n 个物品，两个人轮流从中取物，规定每次最少取一个，最多取 m 个，最后取光者为胜。 1 ，如果 n=m+1 ，那么由于一次最多只能取 m 个，所以，无论先取者拿走多少个， 后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。必败 2 ，法则：如果 n= （ m+1)*r+s ，（ r 为任意自然数， s ≤ m), 那么先取者要拿走 s 个物品，如果后取者拿走 k （≤ m) 个， 那么先取者再拿走m+1-k 个，结果剩下（ m+1 ）（ r-1 ）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。 总之，要保持给对手留下（m+1 ）的倍数，就能最后获胜。必胜局 Wythoff Game： 有两堆各若干个物品，每个人每次可以从一堆里取任意多的物品，或同时从两堆中取同样多的物品

acm博弈论基础总结 常见博弈结论 Nim 问题 ： 共有 N 堆石子，编号 1..n ，第 i 堆中有个 a[i] 个石子。 每一次操作 Alice 和 Bob 可以从任意一堆石子中取出任意数量的石子，至少取一颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。 结论 ：对于一个局面，当且仅当 a[1] xor a[2] xor ...xor a[n]=0 时，该局面为 P 局面，即必败局面。 证明 ：二进制位证明即可。 Moore’s Nim 问题 ：n 堆石子，每次从不超过 k 堆中取任意多个石子，最后不能取的人失败。 结论 ： 这是一个 nim 游戏的变形：把 n 堆石子的石子数用二进制表示，统计每个二进制位上 1 的个数，若每一位上 1 的个数 mod(k+1) 全部为 0 ，则必败，否则必胜。 ( 先手 ) 证明 ：分类讨论 N/P 状态。 Staircase N im 问题 ： 在阶梯上进行，每层有若干个石子，每次可以选择任意层的任意个石子将其移动到该层的下一层。最后不能操作的人输。 结论 ：在 奇数堆的石子做 Nim 。 证明 ： 阶梯博弈经过转换可以变为 Nim. 把所有奇数阶梯看成 N 堆石子做 nim 。把石子从奇数堆移动到偶数堆可以理解为拿走石子，就相当于几个奇数堆的石子在做 Nim 。 New Nim 问题 ： 在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴

概念 一.必胜态与必败态 必胜态(N),最优策略下谁面临此状态谁必赢。 必败态(P),最优策略下谁面临此状态谁必输。 二.SG函数 mex运算：定义为求最小的不属于此集合的非负整数。 SG(x)中x表示状态。x是必败态当且仅当SG(x) = 0; 令 S 为所有x走一步可以到达的状态（必须合法）。那么有$SG(x) = mex(SG(y))(y ∈ S) $ 可以暴力求骗分，主要是打表找规律 三.SG定理 游戏和的 SG 函数就是所有子游戏的 SG 函数的异或和，其中所有子游戏互相独立。 所以先手必胜当且仅当每堆石子的 SG 函数的异或和不为 0。 例题 取火柴游戏 分析 由SG定理判断初始状态，设SG = a1^a2^a3^...^an.如果SG == 0就lose 如果必胜,假设是a1中某些被取走，就令a1变成a'。有a'^a2^a3^...^an = 0 = SG ^ SG = SG^a1^a2^a3^...^an; 所以SG^a1 = a'.且必有a1 > a'; 所以一旦有SG^ai < ai,就是在第i堆取走ai - SG^ai个。 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<queue> #include<cstring> #include<algorithm> #define lson x

# 博弈论 好久以前不记得在那本初赛资料上看到第一章就是博弈论，看了一页纸，~~(那时候还不知道有多难，就只是感性地用数学去理解)~~，感觉不难，就没搞了。 考了好几次博弈论的题，发现毛都不会，又老听旁边 $Mital$ 和 $Skounputer$ 讲什么 $SG$ 函数，心态爆炸，于是还是决定自己学一下。 蒟蒻决定先把几个经典的例子学会了，再去考虑有没有什么可以合并总结的吧。 **** **** **参考：** **https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8460196.html** **https://www.cnblogs.com/Mathics/p/3948482.html** **https://www.luogu.org/blog/skounputer/bo-yi-lun-xiao-jie** **https://www.luogu.org/blog/155767/shuo-lun-xiao-jie** **** **** ## 一、巴什博弈 ~~（当年我看的就是这个，贼简单，所以就没往后学了QAQ）~~ > 模型：给定一堆 $n$ 个石头，两个人博弈，依次取 $[~1,m~]$ 个石头，若不能取了，则当前操作者输。问是否必胜？ ### 模拟讨论： $\quad(1)$如果当前有 $1$ ~ $m$ 个石子，那么显然先手一定能一次性全部取完

复习csp2019的时候稍微看了看博弈论，发现自己对于sg函数的理解完全不到位 有些定义甚至想都没想过 于是就口胡了一篇blog来安慰虚弱的自己 Question 1 对于一个满足拓扑性质的公平组合游戏 若定义一个函数 \(f\) ， \(状态f(P状态)=0\) 假设当前状态为 \(a\) ，它对局面的定义合法 那么 \(f=sg\) 可以发现，它就是 \(Muti-sg\) 问题的核心，接下来我们希望证明这个问题的正确性 首先，先弄清几个定义 对于后继** 指的是一步转移到的状态 后继一定不会等于当前状态 对于局面 它满足以下的性质（当然，性质的名字是我自己取的） 状态性 ：它本身也可以是一个状态 后继性 ：局面本身是状态的后继，或是后继的后继，等等 异或可行性 ：即 \(f(a)\) 是 \(a\) 所包含的所有局面 \(f\) 值的异或和 唯一改变性 ：后继与状态本身仅改变了一个局面， 当然事实并不是如此，如果你会k异或的话，但我们不做探究 单向变化性 ：局面只会改变成为它的后继（如果它是一个状态） 证明 \(f=sg\) 等价于任意 \(a\) 满足， \(f(a)\) 是 \(的后继mex\{f(a的后继)\}\) 因为状态之间的关系本质上是一个 \(DAG\) （即满足拓扑性），所以可以通过归纳法来证明 假设一个状态 \(a\) ，它的所有后继（包括后继的后继）的 \

背景 本人长期徘徊于弥补多项式短板/写字符串爽题/码毒瘤数据结构/看数学书这四件奇怪的事情上，因此水平很菜。 以前接触过一点简单的博弈论，但那实在是太简单了，就是对抗搜索（Min-Max）。 近期训练，做到了一道SAMParent-Tree上倍增之后博弈的题目，SAM都码完了，一看那个博弈，越看越慌，发现自己根本不会：何止不会，一分都拿不到。 于是开始恶补博弈论，发现很妙，但是挺好理解的。 本文因为作者被作业抓走了，暂时没有完成纳什均衡的内容。 update：发现那道促使我学习博弈论的题目是道假题，具体可以看我在anti-NIM里的内容 一些资料 oi-wiki 基本可以博弈论入门了 SG函数入门及例题 这篇文章良心 anti-NIM问题入门 很短，anti-NIM建议把SG搞懂之后作为一个应用加深了解 纳什均衡的一个例子 初步演示纳什均衡在OI中的用法 纳什均衡/划线法 这篇文章我弄出来，只是为了说明划线法（哔——）得不得了 纳什均衡/靠谱计算方法 个人认为是比较靠谱的纳什均衡计算方法（疯狂diss划线法） 纳什均衡/混合策略 （FBI Warning）这玩意儿太神仙了，个人计划如果有时间找一本博弈论的书来学习这一块内容，但讲道理OI里面大概是不会出现这种东西的（搞个纳什均衡出来就不错了）。 纳什均衡/生动例子（雾 这可是我太爷爷的太爷爷关注的up主[doge]手动滑稽

首先定义 \(mex\) (minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如 \(mex\{0,1,2,4\}=3\) 、 \(mex\{2,3,5\}=0\) 、 \(mex\{\}=0\) 。 对于任意状态 \(x\) ，定义 \(SG(x) = mex(F)\) ，其中 \(F\) 是 \(x\) 后继状态的 \(SG\) 函数值的集合（就是上述 \(mex\) 中的数值）。例如 \(x\) 有三个后继状态分别为 \(SG(a)\) 、 \(SG(b)\) 、 \(SG(c)\) ，那么 \(SG(x) = mex\{SG(a),SG(b),SG(c)\}\) 。当且仅当 \(x\) 为必败点时， \(SG(x)=0\) 。 游戏和的 \(SG\) 函数等于各个游戏 \(SG\) 函数的 \(Nim\) 和。 来源： https://www.cnblogs.com/solvit/p/11400417.html

首先理解sg函数必须先理解mex函数 mex是求除它集合内的最小大于等于0的整数，例：mex{1，2}=0；mex{2}=0；mex{0，1，2}=3；mex{0，5}=1。 而sg函数是啥呢？ 对于任意状态 x ， 定义 sg(x) = mex(f)，其中f 是 x 后继状态的sg函数值的集合（就是上述mex中的数值）。最后返回值（也就是sg(x)）为0为必败点，不为零必胜点。 看不懂，咱直接来个例子： 例如：取石子问题，有1堆n个的石子，每次只能取{1，3,4}个石子，先取完石子者胜利，那么各个数的SG值为多少？ sg[0]=0，f[]={1,3,4}, x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1; x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0； x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1; x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2; x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；