概念：
P点——即必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败；
N点——即必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜。
定理：
一、 所有终结点都是必败点P（上游戏中，轮到谁拿牌，还剩0张牌的时候，此人就输了，因为无牌可取）；
二、所有一步能走到必败点P的就是N点；
三、通过一步操作只能到N点的就是P点；
又即：只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态，那么当前状态就是胜态。如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态，那么当前状态就是败态。
Bash Game：只有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次最少取一个，最多取m个，最后取光者为胜。
1，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，
后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。必败
2，法则：如果n=（m+1)*r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，
那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。
总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。必胜局
Wythoff Game：有两堆各若干个物品，每个人每次可以从一堆里取任意多的物品，或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，轮流取，最后取光者得胜
我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势。
如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
首先列举人们已经发现的前几个奇异局势：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
通过观察发现：a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。
4，奇异局势有如下三条性质：
1）任何自然数都包含且仅包含在一个奇异局势中。
2）任意操作都可以使奇异局势变为非奇异局势。
3）必有一种操作可以使非奇异局势变为奇异局势。
5，奇异局势公式：
a[k]=[k*(1+√5)/2]，b[k]=a[k]+k。
(k=0,1,2......，[ ]表示取整）
有趣的是，式中的(1+√5)/2正是黄金分割比例。
6，判断
可以看出，如果两人都采取正确的操作，那么对于非奇异局势，先拿者必胜，对于奇异局势，
先拿者必败。
1 #include <stdio.h>
2
3 #include <math.h>
4
5 const double Gsr=(1+sqrt(5.0))/2;
6
7 void swap(int &a,int &b)
8
9 {
10
11 int t=b;
12
13 b=a;
14
15 a=t;
16
17 }
18
19 int main()
20
21 {
22
23 int a,b;
24
25 while(~scanf("%d%d",&a,&b))
26
27 {
28
29 if(a>b)
30
31 swap(a,b);
32
33 if(a == (int)(Gsr*(b-a))) //奇异局势，先拿者输
34
35 puts("First Lose");
36
37 else
38
39 puts("First Win");
40
41 }
42
43 return 0;
44
45 }
Sprague-Grundy定理（SG定理）：
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。
如：6张扑克牌两名玩家轮流取，每次只能取1张或两张，谁先取完，谁先获胜。
终结点(剩下0张牌)必定是必败点。
剩下一张牌的时候，必胜；
剩下两张牌的时候，必胜；
剩下三张牌的时候，无论取一张或者两张，必败；
剩下四张牌的时候，可以只取一张，让对方遇到只剩三张牌的情况；
剩下五张牌的时候，可以只取两张，让对方遇到只剩三张牌的情况；
剩下六张牌的时候，无论取一张还是两张，对方都可以让你遇到只剩三张牌的情况。所以先手必输。
标记胜败点，则有
0 1 2 3 4 5 6
P N N P N N P
发现是有规律的。
记剩余x张牌为状态x,剩余0张牌时，SG[0]=mex{}=0;
x=1，可以取1-f{1}张牌，剩余0个，SG[1]=mex{SG[0]}=mex{0}=1;
x=2，可以取2-f{1,2}张牌，剩余1,0个，SG[2]=mex{SG[1],SG[0]}=mex{0,1}=2;
x=3，可以取3-f{1,2}张牌，剩余2,1个，SG[3]=mex{SG[1],SG[2]}=mex{1,2}=0;
x=4，可以取4-f{1,2}张牌，剩余3,2个，SG[1]=mex{SG[3]，SG[2]}=mex{0,2}=1;
x=5，可以取5-f{1,2}张牌，剩余4,3个，SG[1]=mex{SG[4],SG[3]}=mex{0,1}=2;
x=6，可以取6-f{1,2}张牌，剩余5,4个，SG[1]=mex{SG[5],SG[4]}=mex{1,2}=0;
可以列出
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 0 1 2 0
由上述实例我们就可以得到SG函数值求解步骤，那么计算1~n的SG函数值步骤如下：
1、使用 数组f 将 可改变当前状态 的方式记录下来。
2、然后我们使用 另一个数组 将当前状态x 的后继状态标记。
3、最后模拟mex运算，也就是我们在标记值中 搜索 未被标记值 的最小值，将其赋值给SG(x)。
4、我们不断的重复 2 - 3 的步骤，就完成了 计算1~n 的函数值。
SG[6]为0则先手必输，否则先手必胜。
有N堆物品，每堆有M[i](1 <= i <= N)个物品，两个人轮流从任意一堆上取任意多的物品，最后取光者胜。两人都采取最优策略，问，是先手赢还是后手赢？
定理（亦是结论）：如果SG[M[1]] xor SG[M[2]] xor SG[M[3]] xor …… xor SG[M[N]] == 0，那么先手输，否则先手赢。(xor是位运算中的异或操作)。
1 //f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
2 //SG[]:0~n的SG函数值
3 //S[]:为x后继状态的集合
4 int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
5 void getSG(int n){
6 int i,j;
7 memset(SG,0,sizeof(SG));
8 //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
9 for(i = 1; i <= n; i++){
10 //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
11 memset(S,0,sizeof(S));
12 for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
13 S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
14 for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
15 SG[i] = j;
16 break;
17 }
18 }19}
说了一大堆，也没懂多少。
就当作记录一下都看了些啥好了。
来源：https://www.cnblogs.com/Jiiiin/p/8680807.html