复习csp2019的时候稍微看了看博弈论，发现自己对于sg函数的理解完全不到位
有些定义甚至想都没想过
于是就口胡了一篇blog来安慰虚弱的自己
Question 1
对于一个满足拓扑性质的公平组合游戏
若定义一个函数\(f\)，\(状态f(P状态)=0\)
假设当前状态为\(a\)，它对局面的定义合法
那么\(f=sg\)
可以发现，它就是\(Muti-sg\)问题的核心，接下来我们希望证明这个问题的正确性
首先，先弄清几个定义
对于后继**
- 指的是一步转移到的状态
- 后继一定不会等于当前状态
对于局面
它满足以下的性质（当然，性质的名字是我自己取的）
- 状态性：它本身也可以是一个状态
- 后继性：局面本身是状态的后继，或是后继的后继，等等
- 异或可行性：即\(f(a)\)是\(a\)所包含的所有局面\(f\)值的异或和
- 唯一改变性：后继与状态本身仅改变了一个局面，
当然事实并不是如此，如果你会k异或的话，但我们不做探究 - 单向变化性：局面只会改变成为它的后继（如果它是一个状态）
证明
\(f=sg\) 等价于任意\(a\)满足，\(f(a)\)是\(的后继mex\{f(a的后继)\}\)
因为状态之间的关系本质上是一个\(DAG\)（即满足拓扑性），所以可以通过归纳法来证明
假设一个状态\(a\)，它的所有后继（包括后继的后继）的\(f\)值都等于\(sg\)值
假设\(a\)可以分为局面\(b_1\)~\(b_n\)，对应\(f_1\)~\(f_n\)，它们等于\(sg_1\)~\(sg_n\)
所以\(f(a)=f_1\oplus f_2\oplus . ..\oplus f_n=sg_1\oplus sg_2\oplus . ..\oplus sg_n\)
如果\(a\)有一个后继\(c\)，考虑\(f(c)=f(a)\oplus sg_i \oplus sg_x\)，也就是把\(b_i\)这个局面改成了\(x\)局面
考虑\(f(c)\)可以取哪些值？
首先，因为\(sg_i \ne sg_x\)，所以\(f(c) \ne f(a)\)
接下来证明\(f(c)\)可以取到\(0\)~\(f(a)-1\)的所有数
对于一个值\(val\in[0,f(a)-1]\)
设\(k\)，满足\(val=f(a) \oplus k\)
因为\(val<f(a)\)，考虑\(val\)的最高的和\(k\)不同的一位，这一位必然存在并且在这一位上\(k\)是\(1\)，\(val\)是\(0\)
这一位同时也是\(k\)的最高位
那么必然存在一个\(sg_i\)满足它的这位是\(1\)，而对应的\(sg_x\)必然会小于\(sg_i\)，因为它的这位是\(0\)
所以存在满足条件的\(x\)且它是\(b_i\)的后继
所以这样的\(k\)可以通过\(sg_i \oplus sg_x\)构造得到
Question 2
翻硬币游戏
定义，有一些硬币排成一排，两人采用最优策略，每次可以翻动其中一些硬币（正变反，反变正），保证翻的硬币中最右边的硬币只能是从正翻到反，不能翻动者输
结论
每个状态的\(sg\)值等于当前所有为正面的硬币在序列中单独存在的状态的\(sg\)值的异或和
证明
设正面为\(1\)，反面为\(0\)
'...'表示状态，...表示局面
把一个状态的\(01\)串倒过来，即'00101'变成\(10100\)，把它看成一个二进制数，那么在游戏过程中这个数字递减
所以这个游戏是满足拓扑性质的
接下来我们设一个定义域为\(01\)串的函数\(f\)
- \(f(00...0)=0\)
- \(f(00...01)=sg(00...01)\)
- \(一个串每一个f(一个01串)=\bigoplus_{每一个1} f(000..01)\) ，其中对于第\(i\)个\(1\)，前面有\(i-1\)个\(0\)
假设当前状态为'011001'
\(f(011001)=f(01)\oplus f(001)\oplus f(000001)\)
'011001'有这样一个后继'010100'
可以说\(f(010100)=f(01)\oplus f(0001)=f(011001)\oplus f(0011)\oplus f(000001)\)
我们把\(01\)，\(001\)，\(000001\)看成是'011001'的三个特殊的局面
那么'010100'可以分拆成\(01\)，\(001\)，\(0011\)三个局面，尽管它们显得不那么特殊
这样的局面划分是合法的，因为可以看成是\(000001\)变成了\(0011\)这个局面，它满足异或和的性质
而很显然的是'0011'（'001100'）确实是'000001'的一个后继
因为\(f\)满足这样的性质：
- \(状态f(P状态)=0\)
- 对于局面的定义合法
在此之前，我们已经证明了，对于这样的\(f\)，\(f=sg\)
完结撒花★,°:.☆(￣▽￣)/$:.°★ 。
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