网上摘的一些知识点
基础知识
欧拉回路是图G中的一个回路，经过每条边有且仅一次，称该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图，简称E图。
无向图中存在欧拉回路的条件：每个点的度数均为偶数。
有向图中存在欧拉回路的条件：每个点的入度=出度。
欧拉路径比欧拉回路要求少一点：
无向图中存在欧拉路径的条件：每个点的度数均为偶数或者有且仅有2个度数为奇数的点。
有向图中存在欧拉路径的条件：除了2个点外，其余的点入度=出度，且在这2个点中，一个点的入度比出度大1，另一个出度比入度大1。
欧拉路径的输出：经典的套圈算法。
下面来重点讲讲混合图的欧拉回路问题。
混合图就是边集中有有向边和无向边同时存在。这时候需要用网络流建模求解。
建模：
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。 因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
好了，现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2，得x。也就是说，对于每一个点，只要将x条边改变方向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：我该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。
首先，有向边是不能改变方向的，要之无用，删。一开始不是把无向边定向了吗？定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同）。
之后，察看从S发出的所有边是否满流。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。欧拉回路是哪个？察看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。
这道题算是经典题目了吧
View Code
#include<stdio.h>#include<string.h>const int MAX=250;const int INF=1000000000;struct{ int v,c,next;}edge[1000000];int E,head[MAX];int gap[MAX],cur[MAX];int pre[MAX],dis[MAX];void add_edge(int s,int t,int c,int cc){ edge[E].v=t; edge[E].c=c; edge[E].next=head[s]; head[s]=E++; edge[E].v=s; edge[E].c=cc; edge[E].next=head[t]; head[t]=E++;}int min(int a,int b){return (a==-1||b<a)?b:a;}int SAP(int s,int t,int n){ memset(gap,0,sizeof(gap)); memset(dis,0,sizeof(dis)); int i; for(i=0;i<n;i++)cur[i]=head[i]; int u=pre[s]=s,maxflow=0,aug=-1,v; gap[0]=n; while(dis[s]<n) {loop: for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next) { v=edge[i].v; if(edge[i].c>0&&dis[u]==dis[v]+1) { aug=min(aug,edge[i].c); pre[v]=u; cur[u]=i; u=v; if(u==t) { for(u=pre[u];v!=s;v=u,u=pre[u]) { edge[cur[u]].c-=aug; edge[cur[u]^1].c+=aug; } maxflow+=aug; aug=-1; } goto loop; } } int mindis=n; for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { v=edge[i].v; if(edge[i].c>0&&dis[v]<mindis) { cur[u]=i; mindis=dis[v]; } } if((--gap[dis[u]])==0)break; gap[dis[u]=mindis+1]++; u=pre[u]; } return maxflow;}int in[MAX];int main(){ int t,i,j,a,b,c,m,n; scanf("%d",&t); while(t--) { memset(head,-1,sizeof(head)); E=0; scanf("%d%d",&n,&m); memset(in,0,sizeof(in)); for(i=0;i<m;i++) { scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); in[a]--;in[b]++; if(!c) add_edge(a,b,1,0); } bool ok=true; for(i=1;i<=n;i++) { if(in[i]&1) ok=false; } int s=n+1,t=n+2; int sum=0; if(ok) { for(i=1;i<=n;i++) { if(in[i]<0) { sum+=(-in[i])>>1; add_edge(s,i,(-in[i])>>1,0); } else add_edge(i,t,in[i]>>1,0); } ok=SAP(s,t,n+2)==sum; } if(ok) printf("possible\n"); else printf("impossible\n"); } return 0;}
来源：https://www.cnblogs.com/wuyiqi/archive/2012/03/12/2391492.html