辗转相除法

首先重点无论式辗转相除法还是更相减损术，最重要的原理是：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数 你可以这么理解， C=（A,B) ,C为A,B的最大公约数；即A,B都有公因数C,那么A-B也有公因数C, A%C=0; B%C=0; A%C-B%C=(A-B)%C=0 假设有两个数x和y，存在一个最大公约数z=(x,y)，即x和y都有公因数z， 那么x一定能被z整除，y也一定能被z整除，所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。（m和n可取任意整数） 对于辗转相除法来说，思路就是：若x>y，设x/y=n余c，则x能表示成x=ny+c的形式，将ny移到左边就是x-ny=c，由于一般形式的mx±ny能被z整除，所以等号左边的x-ny（作为mx±ny的一个特例）就能被z整除，即x除y的余数c也能被z整除。一直下操作， 最后就是更相减损术是拿来相减，而辗转相除是取余；当两个数很接近的时候前者算法效率高，两个数差距很大的时候后者效率高！ 来源： https://www.cnblogs.com/Left-Behind/p/7554000.html

　　　　　　　　　　已知a、b求a与b的最大公因数与最小公倍数？ 先说最大公因数 　　我们先把a、b改写成多个素数的幂相乘。比如a=36和b=54，那么a=2^2*3^2，b=2^1*3^3。根据定义最大公因数就是取a、b分解出的相同素数的最小指数相乘，即2^1*3^2=18。 　　辗转相除法就是用a、b中的大数对小数取余，再把余数和小数中的较小数取余，一直这样做，直到刚好整除，余数为0。比如36与54，先算54%36=18，再算36%18=0，结束，这里的18即为所求。　 int gcd(int x,int y) { if(x%y==0) return y; else return zhanzhuan(y,x%y); } 　　然后是更相减损术。一种实现是把a、b中的大数减小数，然后把小数与差中的大数减小数，直到减到减数和差一样，此时的差即为所求。 　　比如36与54，先算54-36=18，再算36-18=18，此时18=18,18就是最大公因数了。 int gcd(int a,int b) { while(a!=b) { if(a>b)a=a-b; if(a<b)b=b-a; } return a; } 以上两种算法复杂度略玄学，有时快有时慢的…… 这里还有一种更相减损术的代码，复杂度是log级别的。 int gcd(int a,int b) { int F=1; while(a

更相减损法和辗转相除法（GCD）求最小公倍数和最大公约数 标签（空格分隔）： 算法 算法竞赛 这两种算法平时经常听到，听起来也很装逼，但是我老是忘了他们的原理，今天好好想想，写下来。 更相减损法 更相减损法最早起源于我国的《九章算术》，用于求两个数的最小公倍数。大意是给定两个数a,b，如果存在偶数，就将偶数以2；否则，就比较两数大小，用大数减小数，得到一个差；对差和剩下的那个小数重复该过程，直到两数相等，下一次相减结果为0，这时的数就是a和b的最大公约数。注意，去掉偶数除以2的步骤，也正确，但是加上这一步可能会让时间复杂度减少。 例如：15和12。15-12=3；12-3=9；9-3=6；6-3=3；3=3，跳出。则最大公因数是3。 算法的C/C++代码写法如下(循环实现）： int gcdgxjs(int a,int b) { while (a!=b) { if (a if (a>b) a-=b; else b-=a; } return a; ) 辗转相除法 辗转相除法最早是由欧几里得发现的，也被用来求最大公约数。算法是这样的：给定两个数a，b，求a%b，如果余数非0，就继续用除数除以余数，重复该过程，直到除数为0。此时的被除数，就是最大公约数。 例如，42和12。42%12=6；12%6=0，6&0，此时的6即为最大公约数。 算法的C/C++代码写法如下（递归实现）： int

摘自百度百科： 设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。 第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc 第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数 第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。 证毕。 来源： https://www.cnblogs.com/tanhehe/archive/2013/02/22/2921526.html

辗转相除法的证明 　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数的步骤如下：用b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。 　　首先，应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 r 写成 r=a-bq。现在，如果 a 和 b 有一个公约数 d，而且设 a=sd , b=td, 那么 r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括 s-tq )都为整数，所以 r 可以被 d 整除。 　　对于所有的 d 的值，这都是正确的；所以 a 和 b 的最大公约数也是 b 和 r 的最大公约数。因此我们可以继续对 b 和 r 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 r=0 的结果，我们也就得到了 a 和 b 的最大公约数。 来源： https://www.cnblogs.com/oiercc/p/7294315.html

<!-- Euclid算法 --> 欧几里得算法即“辗转相除法”，用于求两个正整数的最大公约数（gcd）。 int gcd(int a, int b) { if(b == 0) return a; else return gcd(b, a % b); } 这是递归形式的代码，递归层数为4.785lgN + 1.6723，N是max(a, b)，可见它递归不了多少层，不需要担心栈溢出的问题。 更精检的形式如下： int gcd(int a, int b) { return (b? gcd(b, a%b): a); } 我们使用这段代码的时候，需要保证a和b是非负整数，a、b同为0的情况要预先处理掉。事实上我们不需要管a和b的大小关系，代码在递归中，始终将大数放在前，我们即使将小数放在前也就是多一层递归而已。 另外还有一种仅通过位运算就可以达到目的的gcd： int gcd(int a, int b) { int t = 1, c, d; while(a != b) { if(a < b) swap(a, b); if(! (a & 1)) { a >>= 1; c = 1; } else c = 0; if(! (b & 1)) { b >>= 1; d = 1; } else d = 0; if(c && d) t <<= 1; else if(! c && ! d) a -= b

今天上课老师问"辗转相除法"又叫什么算法..居然没人知道..更居然的是..老师也忘了... 以前我貌似在VC的Samples里看到过这个算法, 似乎是叫欧几里德... 但也忘了是怎么辗转相除的.. 特此"百度知道"之: Euclid 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 d | b , d |r ，但是a = kb +r 因此d也是(a,b)的公约数 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。 欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为： void swap(int & a, int & b) { int c = a; a = b; b = c; } int gcd(int a,int b) { if(0 == a ) { return b; } if( 0 == b) { return a; } if(a > b) { swap(a,b); } int c; for(c

1.来源 设两数为a、b(a>b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q ......r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q ......r2 (0≤r2）.若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2， ……如此下去，直到能整除为止。其最后一个为被除数的余数的除数即为(a, b)。 例如：a=25,b=15，a/b=1 ......10,b/10=1 ......5,10/5=2 .......0,最后一个为被除数余数的除数就是5,5就是所求最大公约数。 2.原理 3.算法 自然语言描述 用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数gcd(a,b)： 当a mod b=0 时gcd(a,b)=b,否则 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 递归或循环运算得出结果 /** * * @return int * @tags @param m * @tags @param n * @tags @return * @todo 【方法二】利用辗除法 */ public static int gcd(int m, int n) { while (true) { if ((m = m % n) == 0) return n; if ((n = n % m) ==

求最大公约数和最小公倍数 程序分析： （1）最小公倍数=输入的两个数之积除于它们的最大公约数，关键是求出最大公约数； （2）求最大公约数用辗转相除法（又名欧几里德算法） 辗转相除法： #include<stdio.h> int main() { int a,b,c; int raw_a,raw_b; scanf("%d %d",&a,&b); raw_a=a;raw_b=b; c=a%b; while (c!=0) { a=b;b=c; c=a%b; } printf("a与b的最大公约数是：%d\n",b); printf("a与b的最小公倍数是：%d\n",raw_a*raw_b/b); return 0; } 12 56 a与b的最大公约数是：4 a与b的最小公倍数是：168 具体步骤： #include<stdio.h> int main() { int a,b,c; int raw_a,raw_b; scanf("%d %d",&a,&b); raw_a=a;raw_b=b; c=a%b; printf("%d = %d * %d + %d\n",a,a/b,b,a%b); while (c!=0) { a=b;b=c; c=a%b; printf("%d = %d * %d + %d\n",a,a/b,b,a%b); } printf("\n"); printf(

求最大公约数——辗转相除法 设求a和b的最大公约数c 则可看做边长分别为a和b的矩形，可恰好被边长为c的正方形无缝隙填满 方法：不断地用长边除以短边取余数，直到长边与短边相等，即为所求正方形 solve(a,b)=solve(b,a%b)=…… ……=solve(c,0) 代码： int solve ( int a , int b ) { if ( b == 0 ) return a ; else return solve ( b , a % b ) ; } 例题： 求线段上格点的个数 给定平面上的两个格点P1=（x1,y1）P2=(x2,y2),线段P1P2上，除P1和P2以外一共有几个点。 示例： P1=（3,9） P2=（7,1） 则求出7-3和9-1的最小公倍数为solve(8,4) 小矩形的边长为分别为8/solve(8,4)和4/solve(8,4) # include "stdio.h" # include "stdlib.h" int x1 , y1 ; int x2 , y2 ; int max ( int a , int b ) { return a > b ? a : b ; } int min ( int a , int b ) { return a > b ? b : a ; } int solve ( int a , int b ) { if ( b =