辗转相除法

欧几里得： 首先要明确欧几里得算法，就是我们所说的辗转相除法。 就是求两个数a,b的最大公因数gcd(a,b) ll gcd ( ll a , ll b ) //欧几里得算法 { //辗转相除法 if ( a % b == 0 ) return b ; return gcd ( b , a % b ) ; } 拓展欧几里得算法 通俗来说就是求二元一次方程 Ax+By=gcd(A，B) 的（x，y）的所有的解。（假设A，B已知） 我们的方法是通过这组方程的一个特解，得出他的通解。 那么就有两个问题 1.如何得到他的特解？ 2.如何得由特解得到通解？ **** 1.找特解 由欧几里得算法可以将gcd（A，B)写成gcd(B，A%B)。 得到一个新的方程 Bx2+(A%B) * y2=gcd(B，A%B); -------------1 A%B=A-(A/B)*B; 再次改写方程 Bx2+[A-(A/B) * B ] y2=gcd(B，A%B);*------------2 当gcd(B，A%B)一直向下写，直到A%B=0 时； 由1号方程得 Bx2=B; 这时候我们得出方程的一组特解为x2=1,y2=0; 此时我们已经解决了第一个问题找到方程组的特解。 2.如何由特解得出通解 继续观察式子 2 。我们既然已经得出特解x2与y2。那么我们要是知道x2与x的关系，y2与y的关系

应用递推法求解最大公约数问题。 在数学中，求最大公约数有一个很有名的方法叫辗转相除法。辗转相除法体现了递推法的基本思想。 设m，n为两个正整数，且n不为零，辗转相除法的过程是： 将问题转化为数学公式：r=m%n，r为m除以n的余数； 若r=0，则n为所求的最大公约数，输出n； 若r!=0，则令m=n，n=r，继续递推，再重复前面的(1)、(2)步骤。其中第(3)步为递推部分。 求解最大公约数可以用辗转相除法是因为若A、B都是N的倍数，则A-B仍然是N的倍数。也就是把两个数相减，不会使约数消失。那么可以用互相减的办法，把数字化小，直到一个数是另一个数的倍数。 来源： CSDN 作者： AI就是爱 链接： https://blog.csdn.net/qq_37388085/article/details/103477349

辗转相除法求最大公约数 约数 如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的 约数 。 最大公约数 最大公约数就是两个数中,大家都能相约且最大的数。 辗转相除法 辗转相除法 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm）,目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法,其可追溯至公元前300年前。 这条算法基于一个定理：两个正整数 a 和 b（a 大于 b）,它们的最大公约数等于 a 除以 b 的余数 c 和 较小数 b 之间的最大公约数。 算法计算过程是这样的: 2个数相除，得出余数 如果余数不为0，则拿较小的数与余数继续相除，判断新的余数是否为0 如果余数为0，则最大公约数就是本次相除中较小的数。 比如数字 25 和 10 ，使用辗转相除法求最大公约数过程如下： 25 除以 10 商 2 余 5 根据辗转相除法可以得出，25 和 10 的最大公约数等于 5 和 10 之间的最大公约数 10 除以 5 商 2 余 0， 所以 5 和 10 之间的最大公约数为 5，因此25 和 10 的最大公约数为 5 题目要求 完善函数 gcd 的功能。函数 gcd 会计算并返回传入的两个正整数参数之间最大的公约数 如下所示： gcd(30，3); // 返回结果为 3 gcd(12, 24); // 返回结果为 12 gcd(111, 11); /

辗转相除法可以用来计算两个数之间的最大公约数，也成为欧几里得算法 算法大致： 在B等于0之前，交换AB位置让V等于上一轮A求余B的结果,当B为0时,A就是最大公约数 代码实现 int gcd(int a, int b){ if (b == 0) { return a; } gcd(b, a % b); } int main() { printf("%d", gcd(12, 18)); return 0; } 打印输出 6 每轮数字变化 12 18 18 12 12 6 6 0 此时，B == 0， 于是结果为A的值6 来源： https://www.cnblogs.com/esrevinud/p/11994701.html

辗转相除法，一种求最大公约数的算法 已知：A / B = C ······ R （A、B、C、R皆是整数） 假设：D是A的余数，D也是B的余数，那么D就是A和B的公约数 D是A和B的约数，则A和B是D的倍数，B * C也是D的倍数 既然A与B*C都是D的倍数，那么A与B*C的 差 也是D的倍数 A - B*C = R 所以R也是D的倍数 如果D是A或B的公约数，那么D也是B和R的公约数 故：（A,B）= （B,R） 由以上证明则可以求出最大的公约数 例如：求72和28的最大公约数 72 / 28 = 2 ······ 16 ↓ ↓ ↓ ↓ 28 / 16 = 1 ······ 12 ↓ ↓ ↓ ↓ 16 / 12 = 1 ······ 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 12 / 4 = 3 ······ 0 现在可以知道 72与28的最大公约数是4 1 #include <stdio.h> 2 int main(){ 3 int a; // 除数 4 int b; // 被除数 5 int r=1; 　// 余数,赋初值为1 6 printf("输入除数与被除数（空格分开）："); 7 scanf("%d %d",&a,&b); 8 while(r!=0){ // 如果a<b,亦无需颠倒ab，在计算中商0余除数本身，在下次运算中自可颠倒回来 9 r = a % b; 10 a = b; 11 b

算法说明： 其计算原理依赖于下面的定理： 两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。 最大公约数（greatest common divisor）缩写为gcd。 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0)，以此辗转相除得到最终结果。 网上链接： https://www.cnblogs.com/Dragon5/p/6401596.html 伪代码如下： while (b!=0) { if (a>b) a=a%b; else b=b%a; } 结果是b+a 测试： 来源： https://www.cnblogs.com/lhpshuaibi/p/11826941.html

一.什么是欧几里得算法 在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法，是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。 两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。 辗转相除法最早出现在欧几里得的《几何原本》中，所以它是现行的算法中历史最悠久的。这个算法原先只用来处理自然数和几何长度，但在19世纪，辗转相除法被推广至其他类型的数学对象，如高斯整数和一元多项式。由此，引申出欧几里得整环等等的一些现代抽象代数概念。后来，辗转相除法又扩展至其他数学领域，如纽结理论和多元多项式。 辗转相除法有很多应用，它甚至可以用来生成全世界不同文化中的传统音乐节奏。在现代密码学方面，它是RSA算法的重要部分。它还被用来解丢番图方程，比如寻找满足中国剩余定理的数，或者求有限域中元素的逆。辗转相除法还可以用来构造连分数，在施图姆定理和一些整数分解算法中也有应用。辗转相除法是现代数论中的基本工具。 辗转相除法处理大数时非常高效，如果用除法而不是减法实现，它需要的步骤不会超过较小数的位数的五倍。拉梅于1844年证明了这点，同时这也标志着计算复杂性理论的开端。 参考网址： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%BE%E8%BD

今天下午偶然看到辗转相除法, 以前不能够理解原理, 现在能够想明白了. 比如求 gcd(1970, 1066) #include <iostream> #include <string> using namespace std; int gcd( int a, int b){ printf ( " %d = %d * %d + %d \n" ,a,a/b,b,a %b ); if (b== 0 ) return a; else return gcd(b,a %b ); } int main() { int a = 1211 , b = 341 ; cout << gcd(a,b) << endl; return 0 ; } 1211 = 3 * 341 + 188 341 = 1 * 188 + 153 188 = 1 * 153 + 35 153 = 4 * 35 + 13 35 = 2 * 13 + 9 13 = 1 * 9 + 4 9 = 2 * 4 + 1 4 = 4 * 1 + 0 所以最大公约数为1 我们是不是可以有这么一条逻辑链 1可以倍乘得到4 1和4可以得到9 1,4,9可以得到13 1,4,9,13可以得到35 …… 直到1,4,9,13,35,153,188,341的各自的K(k>=0)次幂的和等于1211 我们知道任何一个数都可以用二进制数来表示, 比如7

处理最大公因数时十分好用（但是我证不出来。。） 原理： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) (b>0) 证明： 设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的 最大公约数 ，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=kr。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。 第一步:令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc 第二步:根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c 第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数 第四步:可以断定m-kn与n 互质 (假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。 从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。 （以上摘自百度词条） 还挺好懂的啊。。 代码： 大概过程就是当a%b=0时说明b是最小公因数 看看代码吧。。 int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; else gcd(b,a%b); } 一道例题： （点击收获RP++） 很简单啦。。解释写成注释了 #include<iostream> #include