摘自百度百科：
设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。
第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。
证毕。
来源：https://www.cnblogs.com/tanhehe/archive/2013/02/22/2921526.html