更相减损法和辗转相除法(GCD)求最小公倍数和最大公约数

佐手、 提交于 2020-04-07 07:26:14

更相减损法和辗转相除法(GCD)求最小公倍数和最大公约数

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这两种算法平时经常听到,听起来也很装逼,但是我老是忘了他们的原理,今天好好想想,写下来。

  1. 更相减损法
    更相减损法最早起源于我国的《九章算术》,用于求两个数的最小公倍数。大意是给定两个数a,b,如果存在偶数,就将偶数以2;否则,就比较两数大小,用大数减小数,得到一个差;对差和剩下的那个小数重复该过程,直到两数相等,下一次相减结果为0,这时的数就是a和b的最大公约数。注意,去掉偶数除以2的步骤,也正确,但是加上这一步可能会让时间复杂度减少。
    例如:15和12。15-12=3;12-3=9;9-3=6;6-3=3;3=3,跳出。则最大公因数是3。
    算法的C/C++代码写法如下(循环实现):
int gcdgxjs(int a,int b)    {
    while (a!=b)    {
        if (a
        if (a>b)    a-=b;
        else        b-=a;
    }
    return a;
)
  1. 辗转相除法
    辗转相除法最早是由欧几里得发现的,也被用来求最大公约数。算法是这样的:给定两个数a,b,求a%b,如果余数非0,就继续用除数除以余数,重复该过程,直到除数为0。此时的被除数,就是最大公约数。
    例如,42和12。42%12=6;12%6=0,6&0,此时的6即为最大公约数。
    算法的C/C++代码写法如下(递归实现):
int gcd(int a,int b)    {
    if (b==0)
        return a;
    gcd(b,a%b);
}

上面就是这两个算法的具体实现过程。除此之外,再补充一个定理:两个正整数a,b。假设他们的最大公约数是p,最小公倍数是q,则q=a*b/p(即ab=pq)。证明很简单,多想想就好了,在此不再赘述。

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