辗转相除法与更相减损术

　　　　　　　　　　已知a、b求a与b的最大公因数与最小公倍数？

先说最大公因数

　　我们先把a、b改写成多个素数的幂相乘。比如a=36和b=54，那么a=2^2*3^2，b=2^1*3^3。根据定义最大公因数就是取a、b分解出的相同素数的最小指数相乘，即2^1*3^2=18。

　　辗转相除法就是用a、b中的大数对小数取余，再把余数和小数中的较小数取余，一直这样做，直到刚好整除，余数为0。比如36与54，先算54%36=18，再算36%18=0，结束，这里的18即为所求。　

int gcd(int x,int y)
{
    if(x%y==0)
        return y;
    else 
    return zhanzhuan(y,x%y);
}

　　然后是更相减损术。一种实现是把a、b中的大数减小数，然后把小数与差中的大数减小数，直到减到减数和差一样，此时的差即为所求。

　　比如36与54，先算54-36=18，再算36-18=18，此时18=18,18就是最大公因数了。

int gcd(int a,int b)
{
    while(a!=b)
    {
        if(a>b)a=a-b;
        if(a<b)b=b-a;
    }
   return a;
}

 以上两种算法复杂度略玄学，有时快有时慢的……

这里还有一种更相减损术的代码，复杂度是log级别的。

int gcd(int a,int b)
{
    int F=1;
    while(a!=b)
    {
        if(a<b)swap(a,b);
        if(a&1)
            if(b&1)a-=b;
            else   b/=2;
        else
            if(b&1)a/=2;
            else   a/=2,b/=2,F*=2;
    }
    return a*F;
}

 因为当a、b为奇数时相减，得到偶数，然后执行其他三个操作。也就是说每执行两步操作，必然除掉了一个2。

 

 

然后再说最小公倍数。

　　一种正常的算法是把a、b改写成多个素数的幂相乘。比如a=36和b=54，那么a=2^2*3^2，b=2^1*3^3。最小公倍数就是取所有的素数的最大指数相乘，即2^2*3^3=108。

　　那么看看这俩方法就可以发现，ab作为两个数，最小公倍数最大公因数一个取最大指数一个取最小指数，那么每一个数分解出的素数的幂肯定都取到两个数中了，那么就有

最小公倍数*最大公约数=a*b

这样求最小公倍数和求最大公约数就是同一个问题了，你还不会么？

来源：https://www.cnblogs.com/qywyt/p/9024161.html