莫比乌斯函数

目录 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 狄利克雷卷积 反演 应用 练习题目 YY的gcd 约数个数和 后记 莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 \(\mu(n)=1,n=1\) \(\mu (n)=(-1)^m, n=\prod^m_{i=1}p_i^{k_i},\forall k_i = 1\) \(\mu (n)=0 ,otherwise\) 性质 积性函数 \(\sum _{i|n} \mu(i)=\epsilon (\epsilon = [n=1])\) 筛法 inline void init(){ mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++){ if(!np[i]) pri[++top]=i; for(int j=1;j<=top&&i*pri[j]<n;j++){ int now=i*pri[j]; np[now]=1; if(i%pri[j]) mu[now]=-mu[i]; else{ mu[now]=0;break; //出现平方因子 } } } } 狄利克雷卷积 \((f∗g)(n)=∑_{d|n}f(d)∗g(\frac{n}{d})\) 数论函数与狄利克雷卷积形成群，满足 结合律，封闭性，单位元，逆元 ，同时还满足 交换律 其中单位元为 \(ϵ\) ， \(ϵ(n)=[n=1]\) 比较常用的积性数论函数备用 反演 有 \(f(n)=\sum_{i|n}g

积性函数 对 于 g c d ( a , b ) = 1 , 都 有 f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) 。 那 么 f ( n ) 是 积 性 函 数 对于gcd(a,b)=1, 都有 f(ab)=f(a)*f(b)。那么f(n)是积性函数 对 于 g c d ( a , b ) = 1 , 都 有 f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) 。 那 么 f ( n ) 是 积 性 函 数 欧拉函数 ϕ ( n ) \phi(n) ϕ ( n ) 是一个积性函数，对于一个素数 p p p 。有： ϕ ( p ) = p − 1 \phi(p)=p-1 ϕ ( p ) = p − 1 , ϕ ( p k ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 \phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1} ϕ ( p k ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 第一个就根据定义理解，第二个就稍微容斥一下就可以了。 莫比乌斯函数 μ \mu μ 莫比乌斯函数完整定义的通俗表达： 1）莫比乌斯函数 μ ( n ) μ(n) μ ( n ) 的定义域是 N N N 2） μ ( 1 ) = 1 μ(1)=1 μ ( 1 ) = 1 3）当 n n n 存在平方因子时， μ

HDU6715 算术 莫比乌斯反演的变形。 对 \(\mu(lcm(i,j))\) 变换，易得 \(\mu(lcm(i,j)) = \mu(i)\cdot\mu(j)\cdot \mu(gcd(i,j))\) 。那么有： \[\begin{split} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \mu(lcm(i,j)) &= \sum_{i=1}^{n}\mu(i) \sum_{j=1}^{m}\mu(j)\cdot \mu(gcd(i,j)) \\ &= \sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\mu(id)\mu(jd)\mu(d)[gcd(i,j)=1] \end{split}\] 由于莫比乌斯函数的性质 \(\sum_{d\ |\ n}\mu(d)=[n=1]\) ，我们有： \[\begin{split} \text{上式} = \sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{d_1 = 1}^{\min(n,m)/d}\sum_{i=1}^{n/dd_1}\sum_{j=1}^{m/dd_1}\mu(idd_1)\mu(jdd_1)\mu(d)\mu(d_1) \end{split}\] 我们令 \(T = dd_1\) ，有： \[ \text{上式}=\sum_{T=1}

1.数论函数 定义两个数论函数 \(f(n)\) 与 \(g(n)\) 则 \((f+g)(n)=f(n)+g(n)\) 2.狄利克雷卷积 定义两个数论函数的狄利克雷卷积 \(*\) 定义数论函数 \(t=f*g\) 则 \(\mathbf t(n)=\sum_{ij=n}\mathbf f(i)\mathbf g(j)\) 显然, \(f*g=g*f,f*(g*k)=(f*g)*k,f*(g+k)=f*g+f*k\) 定义数论函数 \(f\) 的单位元 \(ϵ\) ,使得 \(\epsilon\ast\mathbf f=\mathbf f*ϵ\) 不难看出,当 \(i\) 等于 \(1\) 时, \(ϵ(i)=1\) ,否则, \(ϵ(i)=0\) 定义数论函数 \(g\) 为函数 \(f\) 的逆元,即 \(f*g=ϵ\) 则 \(g(n)=\dfrac{1}{f(1)}\left([n==1]−\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\dfrac{n}{i})\right)\) 3.积性函数 如果一个数论函数 \(f\) 当 \(n⊥m\) 的时候满足 \(f(nm)=f(n)f(m)\) ,则称此函数为积性函数 常见的积性函数: \(*σ*_0\) ( \(n\) 的因数个数), \(\varphi(n)\) ( \([1,n]\) 中与 \(n\)

参考了刘汝佳老师《算法艺术与信息学竞赛》。 离散变换与反演 有些时候，我们所求解问题的答案可以表示成一个类似前缀和的形式： \(f(x)=\sum a_ig(i)\) 。 更多时候， \(g(x)\) 是我们所需的答案，不易求出；而 \(f(x)\) 则可以通过另一种更好的方式求出来。如何根据 \(f(x)=\sum a_ig(i)\) 来推导出 \(g(x)\) 的解析式呢？这个反推的过程，我们可以叫做 反演 。我们用一个例子来具体说明。 我们已经用容斥原理得出了错排问题的答案，即在 \(n\) 个元素中的所有排列中，第 \(i(1 \leq i \leq n)\) 个元素不是 \(i\) 的排列数目 \(D_n\) 。现在我们来尝试用反演的方法。 我们反过来求：有且仅有 \(k\) 个元素处在正确位置的方案数为 \(\dbinom{n}{k}D_{n-k}\) ，即剩余的 \(n-k\) 个元素不允许再排在原来的位置。 易知，所有排列里，一定存在 \(0,1,\cdots,n\) 个元素恰好排在其位置的方案。我们把他们加起来得到： \[ P_n=n!=\sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}D_{n-k} \tag{*} \] 反演（解出 \(D_n\) ）得到： \[ D_n=n!\sum_{r=0}^n{(-1)^r \frac{1}{r!}} \tag{**}

　　　　　　转载自----- http://blog.csdn.net/qw4990/article/details/14055183 这个文章主要讲一下ACM中1个常用的莫比乌斯反演公式，看到很多博客上面公式是有，但是都没证明，《组合数学》上的证明又没看懂， 就自己想了种证明方法，觉得比《组合数学》的证明简单些，就写一下，希望对初学莫比乌斯反演的同学有帮助。 PS：下面公式出现的sigma是累加，另外建议大家看的时候 把公式在纸上写出来！ 一：什么是莫比乌斯反演 简单点的说，就是先给出一个函数 F(n) ,然后再由 F(n)定义一个新函数 G(n) 其中 G(n) = sigma(F(d)) (其中d被“包含”于n) 然后 现在我们不知道 F(n)的值 ， 却知道 G(n)， 接着我们就可以通过 反演由G(n)反向得到F(n) 什么叫 (其中d被“包含”于n) ？以及怎么理解反演？ 通过下面的几个例子说明 例1： 我们直接定义 G(n)=sigma(F(i)) (1<=i<=n) {这里的每个F(i)，相对于G(n)实际上就是一种包含关系了！！} 然后我们现在已经知道 G(n)=n*(n+1)/2; 接下来 我们要通过 G(n)反向得到F(n) 的过程，就是反演 当然，这个问题很简单，很容易都可以看出来 F(n)=n ～～ ----------------------------

莫比乌斯反演 （PS：在评论区中众多dalao的催促下，我认真的写了三天三夜写完了这篇 杜教筛 ，保证是精品！） 前言 （这大概是我第一次写学习笔记吧OvO） 可能每一个刚开始接触莫比乌斯反演的OIer，起初都会厌恶这个神奇的东西。 (我也一样233) 每一个人厌恶的原因有许多，可能是这个烦人的式子，也可能仅仅只是因为不理解 \(\mu\) 函数而感到不爽。当然，莫比乌斯反演有一个小小的预备知识： 整除分块 那么我们先从莫比乌斯反演中最基础的莫比乌斯函数 \(\mu\) 开始说起： 莫比乌斯函数 首先，我们可以先明确一点，莫比乌斯函数并不是什么很高大上的东西，它其实只是一个由容斥系数所构成的函数。 \(\mu(d)\) 的定义是: 当 \(d=1\) 时， \(\mu(d)=1\) ； 当 \(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\) 且 \(p_i\) 为互异素数时， \(\mu(d)=(-1)^k\) 。(说直白点，就是 \(d\) 分解质因数后，没有幂次大于平方的质因子，此时函数值根据分解的个数决定)； 只要当 \(d\) 含有任何质因子的幂次大于等于2，则函数值为0. 当然，莫比乌斯函数也有很多有趣的性质： 对于任意正整数 \(n\) ， \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 。（ \([n=1]\) 表示只有当 \(n=1\) 成立时，返回值为 \(1\)

证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^{\left \lfloor \sqrt n \right \rfloor}\mu (i)\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor$，其中 $\mu (x)$ 为莫比乌斯函数. 分析： 在等式的推到中，最重要的是理解一个等式的含义。 上式左边其实是求 $1 \sim n$ 中无平方因子数的个数，右边相当于枚举 $n$ 的平方因子，再乘以容斥系数。 因此，也找到了 严格 证明的方法了。 证： 设 $f(x)$ 为 $x$ 的最大的平方因子。 于是 $\displaystyle \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]$（最大平方因子为1）。 使用经典套路： $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n \mu (i)^2 & = \sum_{i=1}^n[f(i)==1]\\ &= \sum_{i=1}^n\varepsilon(f(i))\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu (d) \end{aligned}$$ 改变枚举顺序： $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{d|f(i)}\mu(d) &

。。。。您点进来我的博客，想必是信任我这个新初一大菜鸡能讲清楚吧！可是我来写这篇博客，完全是因为考试的时候看到数学题推到类似∑∑【gcd(i,j)==1】的式子就推不下去了。其实莫比乌斯反演就是求这样的东西的。 对于这样的式子,我经常说一句话：当年bmh201708普及组的时候提前30分钟出考场吊打提高组，就是冲着数学题去AK的 对于这样的人，我们用3个字形容他：金艺轲! 首先声明一点：我不会markdown 我zbs用莫比乌斯定理不是问题：【n==1】=∑mu(d)(d|n) 如果这个式子带进去，将绝杀。而且可以带 单走一个交换枚举项，不用说，他死定了：∑∑[gcd(i,j)==1] =∑∑∑mu(d)(d|gcd(i,j))=∑mu(d)∑∑(d|i&&d|j) （到这里，有没有发现gcd(i,j)的所有因数都是i和j的因数？） 给莫比乌斯倒一杯卡布奇诺！ 原式=∑mu(d)[n/d]*[m/d] 后面整数分块处理O(sqrt(n))，前面莫比乌斯函数因为是积性函数，所以直接上欧拉筛。 你卡掉我试试！你能把我zbs卡掉？卡掉我当场吃屎！ https://www.luogu.org/record/22884149 来源： https://www.cnblogs.com/zbsakioi/p/11366682.html

昨天知道了莫比乌斯函数，今天就来学学莫比乌斯反演： 莫比乌斯反演： 若 \[F(n)=\sum_{x\mid n}f(x)\] 可以得到一个结论： \[f(n)=\sum_{x\mid n}\mu (x)F(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor)\] 若 \[F(n)=\sum_{n\mid x}f(x)\] 又可以得到一个结论： \[f(n)=\sum_{n\mid x}\mu (\frac{x}{n})F(x)\] 证明我们可以用 狄利克雷乘积 来证明。 算法应用： 此处感谢我们学校的教练——symbol，谢谢您的课件，这给了我很大帮助。 终于可以学习杜教筛了，Yes！ 来源： https://www.cnblogs.com/zhouyifei/p/11329483.html