莫比乌斯函数

前言： 继续不务正业…… 莫比乌斯函数： \[\mu (x)\] 算法定义： 1. \[\mu (1)=1\] 2. 当\[x=\prod_{i=1}^{k}p[i]\] 且p[i]为互异素数时 \[\mu (x)=(-1)^{k}\] （就是质因子的幂次小于2） 3.当所有质因子的幂次都大于1 \[\mu (x)=0\] 性质： 1.若 \[n=1\] 则 \[\sum_{x=1}^{n} x\mid n=1\] 否则 \[\sum_{x=1}^{n} x\mid n=0\] 2.\[\sum_{x=1}^{n}x\mid n\frac{\mu(x)}{x}=\frac{\phi(n)}{n}\] 算法实现： 1.筛质数的同时记录幂次 2.然后统计莫比乌斯函数 来源： https://www.cnblogs.com/zhouyifei/p/11323957.html

积性函数(前置知识) 积性函数定义： 函数 \(f(x)\) 满足 \(gcd(a, b) = 1\) 时， \(f(ab) = f(a)f(b)\) 则 \(f(x)\) 为积性函数 常见积性函数 (具体证明可以百度=w=) 欧拉函数 \(ϕ(n)\) \(ϕ(n) = n ∗∏(pi − 1)/pi\) 莫比乌斯函数 \(µ(n)\) 当 \(n\) 有平方因子 如 \(n=∏_{i=1}^{t}pi^{ci}(表示n有t个互不相同质因子pi，每个pi的次数是ci)\) 当某 \(ci>=2(即有平方因子)\) ，则 \(µ(n) = 0\) 否则，若 \(n\) 为 \(k\) 个不同质数的乘积， \(µ(n) = (−1)^k\) 除数函数 \(σ_k(n)\) 表示所有正因子的 \(k\) 次幂和 \(σ_0(n) = d(n)\) 表示正因子的个数 \(σ_1(n) = σ(n)\) 表示正因子的和 完全积性函数 幂函数 \(id_k(n) = n^k\) \(id_0(n) = 1(n) =1\) \(id_1(n) = id(n) = n\) 单位函数 \(ϵ(n) = [n = 1]\) ： \(即ϵ(n)仅当n=1时值为1，其它都为0\) 狄利克雷卷积 Dirichlet 卷积 对两个数论函数 \(f, g\) ，定义其 Dirichlet 卷积为新函数 \(f

## 积性函数 \[\forall p,q \wedge gcd(p,q)=1 , f(pq)=f(p)*f(q)\] \(\mu\) 函数定义 \[ n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}\cdots*a_k^{p_k}\\ \mu(n)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,n = 1\\ (-1)^k,a_i=1\\ 0,otherwise \end{array} \right. \] \(\mu\) 函数性质 1. \[ \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \] ([n=1]表示仅当n=1时返回值为1，其余为0） 2. \[ \sum_{d|n}{\mu(d)\over{d}}={\varphi(n)\over{n}} \] 线性筛莫比乌斯函数 void init() { memset(vis,0,sizeof vis); mu[1]=1; for (int i=2;i<=n;++i) { if (!vis[i]) { mu[i]=-1; prime[++tot]=i; } for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j) { vis[i*prime[j]]=1; if (i%prime[j]==0) { mu[i*prime[j]]=0; break; } else { mu[i*prime[j]]=-mu[i