莫比乌斯函数

数论函数 在数论上，算术函数（或称数论函数）指定义域为正整数、陪域为复数的函数，每个算术函数都可视为复数的序列。 最重要的算术函数是积性及加性函数。算术函数的最重要操作为狄利克雷卷积，对于算术函数集，以它为乘法，一般函数加法为加法，可以得到一个阿贝尔环。 ---百度百科 $ \mathbf{f}(x),x \in \mathbb{Z_+}, \mathbf{f}(x)\in C$ 就是定义域为正整数，值域是一个数集 定义数论函数运算： 两个数论函数相等，即他们的每一项都相等 加法： \((\mathbf{f}+\mathbf{g})(i) = \mathbf{f}(i)+\mathbf{g}(i)\) 数乘： \((x\mathbf{f})(i)=x\cdot \mathbf{f}(i)\) 狄利克雷卷积 狄利克雷乘积(Dirichlet product)亦称狄利克雷卷积、卷积，是数论函数的重要运算之一。设f(n)、g(n)是两个数论函数，它们的Dirichlet(狄利克雷)乘积也是一个数论函数，简记为h(n)=f(n)*g(n)。 ---百度百科 定义两个数论函数的狄利克雷卷积符号： \(\ast\) 令 \(\mathbf{t}=\mathbf{f}\ast \mathbf{g}\) 则 \(\mathbf{t}(n) = \sum\limits _{ij=n} \mathbf

莫比乌斯反演在数论中占有重要的地位，许多情况下能大大简化运算，特别是对于求解gcd的问题。 在学习莫比乌斯反演之前，我们先了解下积性函数。 积性函数 ： 定义 ：定义域为N+ 的函数 f，对于任意两个互质的正整数a, b: gcd(a, b) = 1，均满足f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则函数f 被称为积性函数。假如对于任意两个正整数a, b 均有f(ab) = f(a) ∗ f(b)，则称f 为完全积性函数。 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。 积性函数的 性质 ： • f(1) = 1 • 考虑一个大于1 的正整数N，设N = ∏ pi ai ,其中 pi 为互不相同的质数，那么对于一个积性函数 f, f(N) = f( ∏ pi a i ) = ∏ f(pi a i ) , 如果f 还满足完全积性，则 f(N) = ∏ f(pi) ai 。 • 若 f(n), g(n) 均为积性函数，则函数h(n) = f(n)g(n) 也为积性函数。 • 若 f(n) 为积性函数，则函数F(n) = Σ d|n f(d) 也是积性函数，反之亦然。 莫比乌斯反演 定理 ： 和 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件 ，那么我们得到结论 。 这是莫比乌斯反演的一般描述，即： 而在算法竞赛中，我们常用的是它的另一种描述： 其中 为莫比乌斯函数，它的定义如下： （1）若

定义： 默比乌斯函数或缪比乌斯函数是指以下的函数 ： μ ( n ) = { 1 若n=1 ; ( − 1 ) k 若 n 无 平 方 因 子 数 ， 且 n = p 1 ∗ p 2 . . . . ∗ p k ; 0 若 n 有 平 方 因 子 数 μ(n)= \left\{ \begin{aligned} 1& \ \ \ \text{若n=1};\\ (-1)^k& \ \ \ 若n无平方因子数，且n=p_1*p_2....*p_k ;\\ 0& \ \ \ 若n有平方因子数 \end{aligned} \right. μ ( n ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ​ 1 ( − 1 ) k 0 ​ 若 n=1 ; 若 n 无 平 方 因 子 数 ， 且 n = p 1 ​ ∗ p 2 ​ . . . . ∗ p k ​ ; 若 n 有 平 方 因 子 数 ​ 性质： 我们之前就提到过，莫比乌斯是积性函数，必然满足积性函数的性质 积性函数 性质1: 性质2： 莫比乌斯函数值求法： 1.单个函数值： # include <iostream> using namespace std ; typedef long long ll ; //计算a是否可以mod b int MOD ( int a , int b ) { return a - a / b * b ; } //计算莫比乌斯函数

定义： 举个栗子： 假设 有两个函数 F ( n ) , f ( d ) F(n),f(d) F ( n ) , f ( d ) ，且 d ∈ { x , x ∣ n } d∈\{x,x|n\} d ∈ { x , x ∣ n } 并有以下关系： F ( n ) F(n) F ( n ) 等于所有 f ( d ) f(d) f ( d ) 之和。 比如： 6 6 6 能被 1 , 2 , 3 , 6 1,2,3,6 1 , 2 , 3 , 6 整除，所以 F ( 6 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 6 ) F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6) F ( 6 ) = f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + f ( 6 ) 用一个公示表示就是： F ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) F(n)=\sum_{d|n}^{}{f(d)} F ( n ) = ∑ d ∣ n ​ f ( d ) ∣ | ∣ 符号表示整除， a ∣ b a|b a ∣ b 表示b被a整除， 也就是 b b b 有 a a a 这个因数， b = k a b=ka b = k a ( k ∈ N ) (k∈N) ( k ∈ N ) 。 由此可得到： F ( 1 ) = f ( 1 ) F(1)=f(1) F ( 1 ) = f

莫比乌斯函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\) ，则 \(\mu(n)=(-1)^k\) ，特别地 \(\mu(1)=1\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 反演性质 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})\) \(F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}F(d)\mu(\frac{d}{n})\) 常用性质 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\) 欧拉函数 定义 设 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\) ，有 \(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}\) 。 性质 最常用性质 \(\sum_{d|n}\phi(d)=n\) 零零散散的一些性质（没收集完） \(\phi(ab)=\frac{\phi(a)\phi(b)gcd(a,b)}{\phi(gcd(a

前置知识：莫比乌斯反演学习笔记1 本文介绍一些莫比乌斯反演的灵活应用，包括杜教筛等内容。 一、整除分块（数论分块） 补充一点基础知识... 具体来说就是：如果我们要求 \(\sum \limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) ，并不需要用朴素算法 \(O(n)\) 去求，可以加快速度。 定理1：所有 \(1 \leq i \leq n\) 的 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的结果最多只有 \(2\sqrt n\) 种。 证明：对于 \(i \in [1,\sqrt n]\) ，显然最多只有 \(\sqrt n\) 种取值，而对于 \(i \in [\sqrt n+1,n]\) ， \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\leq\sqrt n\) ，因此也最多有 \(\sqrt n\) 种取值，两个部分相加，因此最多有 \(2\sqrt n\) 种取值。 定理2：对于确定的 \(i\) ，能使得 \(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 的 \(x_{max}=\Big\lfloor\cfrac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\Big\rfloor\) 。 这里选取了两种证明方法。 证法1：记 \(f

莫比乌斯反演学习笔记1 在这里首先要说明： 1：本文讨论的所有函数为数论函数，即定义域为 \(D=N^*\) 的函数； 2： \(\sum \limits_{d|n}f(d)\) 表示 \(d\) 取遍 \(n\) 的所有 正因子 ，再将所有的 \(f(d)\) 相加，例如当 \(n=6\) 时， \(\sum \limits_{d|n}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\) ； 3： \(\prod \limits_{i=1}^ka_i=a_1 \times a_2 \times ... \times a_k\) ，即所有 \(a_i\) 的乘积； 4： \([p]\) （其中p是一个表达式）表示当p成立时，值为1；否则值为0； 5： \((a,b)\) 表示 \(gcd(a,b)\) ，即 \(a,b\) 的最大公因数； 6：几个在狄利克雷卷积中会出现的基本函数： \(\varepsilon(n)=[n=1]\) ，也就是 \(\varepsilon(n)=\begin{cases}1\qquad n=1\\0 \qquad n \neq 1 \end{cases}\) \(I(n)=1\) \(id(n)=n\) 一、积性函数 定义：如果一个函数 \(f(n)\) 满足：当 \((a,b)=1\) 时，有 \(f(ab)=f(a) \times f(b)\)

一些函数的一些性质 取整函数 \(\lfloor x \rfloor\) （一） \(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\) （二）对任意x与正整数a，b \(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\) （三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\) （四）若n为正整数， \(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\) 不同取值个数不超过 \(2\times\sqrt{n}种\) 证明： \(（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\) \(（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\) \(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\) 调和数 定义 \[Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}

积性函数(前置知识) 积性函数定义： 函数 \(f(x)\) 满足 \(gcd(a, b) = 1\) 时， \(f(ab) = f(a)f(b)\) 则 \(f(x)\) 为积性函数 常见积性函数 (具体证明可以百度=w=) 欧拉函数 \(ϕ(n)\) \(ϕ(n) = n ∗∏(pi − 1)/pi\) 莫比乌斯函数 \(µ(n)\) 当 \(n\) 有平方因子 如 \(n=∏_{i=1}^{t}pi^{ci}(表示n有t个互不相同质因子pi，每个pi的次数是ci)\) 当某 \(ci>=2(即有平方因子)\) ，则 \(µ(n) = 0\) 否则，若 \(n\) 为 \(k\) 个不同质数的乘积， \(µ(n) = (−1)^k\) 除数函数 \(σ_k(n)\) 表示所有正因子的 \(k\) 次幂和 \(σ_0(n) = d(n)\) 表示正因子的个数 \(σ_1(n) = σ(n)\) 表示正因子的和 完全积性函数 幂函数 \(id_k(n) = n^k\) \(id_0(n) = 1(n) =1\) \(id_1(n) = id(n) = n\) 单位函数 \(ϵ(n) = [n = 1]\) ： \(即ϵ(n)仅当n=1时值为1，其它都为0\) 狄利克雷卷积 Dirichlet 卷积 对两个数论函数 \(f, g\) ，定义其 Dirichlet 卷积为新函数 \(f

嗯，还是要记一下的。 直接进入正题吧。 莫比乌斯函数 考虑定义一个这样的函数 \(\mu(n).\) 当 \(n=1\) 时，有 \(\mu(n)=1.\) 当 \(n\) 可以表示成 \(m\) 个不同质数的乘积时，设 \(n=p_1*p_2*…*p_m\) ,则 \(\mu(n)=(-1)^m.\) 对于其他情况，有 \(\mu(n)=0.\) 这个函数被称为莫比乌斯函数。 莫比乌斯函数的性质 \(Ⅰ.\) 首先， \(\mu(n)\) 是一个积性函数。当 \(n,m\) 互质时（ \(n⊥m\) ），有 \(\mu(n*m)=\mu(n)*\mu(m).\) 当 \((n=1) or (m=1)\) 时，显然成立。 当 \(\mu(n)*\mu(m)=0\) 时， \(n\) 或 \(m\) 中存在 \(p_i^{k_i}(k_i>1)\) ,则 \(\mu(n*m)=0\) ,即 \(n*m\) 必然存在 \(p_i^{k_i}(k_i>1)\) . 对于其他情况，设 \(n\) 由 \(p\) 个质数相乘， \(m\) 由 \(q\) 个质数相乘，显然 \(\mu(n*m)=(-1)^{p+q}=(-1)^p*(-1)^q=\mu(n)*\mu(m).\) \(Ⅱ.\) \[\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1, n=1 \\ 0 ,n>1