fft

目录 参考文献 例题 符号约定 通用思路 规律性 限制性 可行性 可分治性 矩阵 和运算 非运算 异或运算 代码 小结 未完待续 真的想点接触这个玩意。 cmd写的OI多项式💊是真的顶。 参考文献 人称OI药丸： https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/wei-yun-suan-juan-ji-yu-ji-kuo-zhan ZFY：你又从洛谷日报上抄袭，烦不烦呀。 如果能有源码我还自己打！QAQ 例题 例题 符号约定 ZFY：抄袭的第一步。。。 文中的多项式和下标均为向量， \([]\) 表示向量拼接（但是 \([\) 命题 \(]\) 就是当命题成立时为 \(1\) ）。 \(A_{i}\) 表示 \(A\) 中的第 \(i\) 位， \(i_{j}\) 表示 \(i\) 的二进制中从高往低的第 \(j\) 位。 ZWQ：你这和照搬有什么区别。。。为什么不能有自己的思考呢？像我一样。 \(⊕\) 为位运算，&为和运算，^为异或，|为非运算。 规定 \(n\) 为总位数，且一定是 \(2\) 的次幂，记为 \(2^u\) 。 \(C[k]=\sum\limits_{i⊕j==k,0≤i,j≤n-1}A[i]*B[i]\) ，写成 \((A*B=C)\) ，称为位运算 \(⊕\) 的卷积形式。 称 \(DWT(A)\) 为 \(A\)

多项式 \[ \begin{aligned} A(x)& =\sum_{i=0}^na_ix_i \\ &=(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n) \end{aligned} \] 卷积 \[ A(x)B(x)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^na_ib_jx^{i+j} \] 若 \(A\ast B=C\) ，可知求 \(C\) 的系数数列时间复杂度 \(O(n^2)\) 。 考虑点值表达式的卷积 \[ A(x)=(x_0,y_0),(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n) \] \[ B(x)=(x_0,y_0'),(x_1,y_1'),\cdots,(x_n,y_n')) \] 可得出 \(C\) 的一个不完整表达 \[C(x)=(x_0,y_0y_0'),(x_1,y_1y_1'),\cdots,(x_n,y_ny_n')\] 若将点对个数增至 \(2n+1\) 个，可知求出 \(C\) 的点值数列时间复杂度 \(O(n)\) 。 DFT & IDFT DFT(Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换) 是系数数列 \(a_0,a_1,\cdots,a_n\) 转为点值数列的过程， IDFT(Inverse Discrete Fourier Transform，逆离散傅里叶变换) 是

1.傅里叶变换 傅里叶变换是一个很重要的变换方法。大部分人对傅里叶变换的理解就是，它实现了信号从时域到频域的转换，而从数学的角度来看，傅里叶变换其实就是一种基底变换（通俗地说就是改变原来的坐标系）。然而，不论从什么角度来理解傅里叶变换，我们只要记住，它的本质就是一个序列 \(f\) 到另一个序列的 \(F\) 转换（连续或离散）。 傅里叶变换的研究和应用都非常多，因此本文不再赘述相关的内容，如果想通俗且深入地理解傅里叶变换，我推荐 马同学 的博客。 一般的傅里叶变换通常指以下的公式： \[F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\] 为了和 离散傅里叶变换 区别，我们称其为 连续傅里叶变换 。 2.离散傅里叶变换DFT 由前文可知， 连续傅里叶变换 的公式如下： \[F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt\] 现实中，我们一般无法得到连续的观察序列 \(f(t)\) ，只能通过采样的方式得到离散的子序列 \(f[k]\) 。比较严谨的定义是： 从连续的时间序列 \(f(t)\) 中按给定周期 \(T\) 采样 \(N\) 个点， \(f[0],f[1],\dots,f[N-1]\) ，这 \(N\) 个点组成了 \(f(t)\) 的一个离散子序列