如何交易和定价LPR利率期权之三——重新审视利率互换

As with so many things, it was simply a matter of time.

The Time Trapper, Zero Hour – End of an Era, LSH 61, 1994, DC Comics

Brigo&Mercurio的书上引用的一句话，说出了固定收益类证券和衍生品大厦的根基——就是时间。一切理论的基础都是以货币具有时间价值且不同时间价值不同为前提的。人们之所以会去交易债券，交易收益率曲线，交易各种各样的利率衍生品，都是基于对于货币的不信任和对时间的尊重。

在发达国家利率市场，时间价值体现在所有交易的一切细节里，但是在国内却有些双标——比如在对LPR利率互换的估值上。

中国市场真正vanilla的互换只有一个，就是shibor3m IRS。shibor3m的tenor是3m,而互换重置之后，也正是在3m之后支付，支付日和存一个shibor3m的到期日完全一致，我们可以管这个叫做一个自然时滞（natural time lags)。对于市场上交易最活跃的repo IRS来讲，则稍稍不那么“自然”些——支付频率仍然是季度支付，但是重置间隔却和repo的tenor一致，即weekly reset. 当你存一笔repo 7d 到期时，你却没收到本应该收到的钱，由于货币具有时间价值，自然要考虑复利，所以这个7天一滚的复合利率到支付时的现金流为：

$C=1+f_1\times (day_1-day_0)/365=((1+fr_m×(t_m/365))×\prod_{1}^{m-1}(1+fr_i×7/365)-1)$

其中 f_1 即复合利率(discretely compounded rate）， fr_i 为第i次重置的远期利率，一共m次， t_m 为最后一次到支付日的计息区间。

平常大佬们写鸡汤文最喜欢鼓吹什么“复利的力量”，有兴趣的可以算算，对于一个IRS来讲，复不复利还真差的挺多。但是因为我每周存了笔7天的钱（周度重置）却没能每周按时收到利息（周度支付），因此这个就算不上natural了，因此我们管他叫非自然时滞（unnatural time lags）.

通俗而不严格的说，就是你假装以某个期限按当时的利率存款，却没在那个到期时间给你把钱打卡里的，一律视为非自然时滞。

所有IRS里最非自然时滞的就要数LPR互换了。我们以LPR5y为例，我进入一笔利率互换，重置了一起LPR5y利率，这个利率我本来是要存5年的钱才能给到我的一个年化利率水平，结果...存三个月就给我打钱了？？还是按5年利率的水平打？这对于收浮动的人来说简直是开心的飞起，就好比你去银行存了个5年4.0%的大额定期存款，大家都知道中间如果一旦取出那就只能按活期存款利率付利息；但是现在就是有这么一个好事儿，你三个月取出来人家可以按照存5y的利率给你利息——金融市场永远没有免费的午餐，互换的浮动收取方总要付出点什么代价吧？那么非自然时滞到底和自然时滞会带来什么区别? 这一区别对衍生品资产的价值到底有什么影响？

我们从vanilla swap说起。考虑一个在 T_0,T_1,T_2,...T_n 时刻重置的swap，则它的估值为固定端现金流的现值和浮动端现金流的现值之差，也就是一个固息债券和一个浮息债券的价值之差。unnatural time lags发生在浮动端上，因此我们来看看利率互换收取浮动端的discounting payoff：

$p_f =\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)\tau_i F_i (T_{i-1})}$

其中D为随机折现因子(stochastic discounting factor), $\tau_i$ 为 $T_{i-1}$ 到 T_i 的期限， $F_i(T_{i-1})$ 为于 $T_{i-1}$ 远期开始至 T_i 到期的远期利率。

$E[p_f]=E [\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)\tau_i F_i (T_{i-1})}]\\ =\sum_{1}^{n}{P(0,T_i)\tau_i}E^i[F_i(T_{i-1})]\\ =P(0,T_0)-P(0,T_n)$

其中P是zero-coupon bond的价值。我们可以看到，对于natural的情况，对于这个IRS的价值，只和零息债券有关，和利率的波动、利率间的相关性都是无关的。

下面我们来看一个unnatural的例子。为了表述方便（避免零碎期限的繁琐表述），我们就以in-arrears swap为例，也就是说，每次现金流在重置日那天就交换，而不是等存完钱那天。对于这种互换，浮动端的估值会有什么不同呢？这次我们直接把固定端也写上来算这笔互换资产的估值。假设fixed leg是K，那么互换的discounting payoff 为:

$p=\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)\tau_{i+1}( F_{i+1} (T_{i})-K)}$

因此in-arrears swap的价值IAS为：

$IAS=E[\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)\tau_{i+1}( F_{i+1} (T_{i})-K)}]$

因为i错位了，所以我们需要用到一个定理，其实就是常用的iterated conditioning:

prop1. 设是一个T-可测的随机变量，则：

E[XD(0,T)]=E[XD(0,S)/P(T,S)]

对任意 0<T<S 成立。

那么：

$IAS=E[\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)\tau_{i+1}( F_{i+1} (T_{i})-K)}] \\ =E[\sum_{1}^{n}{D(0,T_i)[1/P(T_i,T_{i+1})-1-\tau_{i+1}K}]] \\ =E[\sum_{1}^{n}{[D(0,T_{i+1})/P(T_i,T_{i+1})^2-D(0,T_i)(1+\tau_{i+1}K)}]] \\ =\sum_{1}^{n}[P(0,T_{i+1})E^{i+1}[1/P(T_i,T_{i+1})^2]-P(0,T_i)(1+\tau_{i+1}K)] \\ =\sum_{1}^{n}[P(0,T_{i+1})E^{i+1}[(1+\tau_{i+1}F_{i+1}(T_i))^2]-P(0,T_i)(1+\tau_{i+1}K)]$

接下来就是怎么处理带远期利率F的期望项，回顾

黑猫Q形态：Libor Market Model简介 zhuanlan.zhihu.com

可知，在 $Q^{i+1}$ 测度下， $F_{i+1}$ 服从一个没有漂移项的对数正态的dynamic:

$dF_{i+1}(t)=\sigma_{i+1}(t)F_{i+1}(t)dZ_{i+1}(t)$

又由Ito formula可以计算出：

$E^{i+1}[F^2_{i+1}(T_i)]=F^2_{i+1}(0)exp[\int_0^{T_i}\sigma^2_{i+1}(t)dt]=F^2_{i+1}(0)exp(v^2_{i+1})$

带入可得：

$IAS=\sum_{1}^{n}[P(0,T_{i+1})E^{i+1}[1+2\tau_{i+1}F_{i+1}(0)+\tau_{i+1}^2F^2_{i+1}(0)exp(v^2_{i+1})]-P(0,T_i)(1+\tau_{i+1}K)]$

那么可以得出结论，对于unnatural time lags 的IRS，是暴露了远期利率的波动率的敞口的。实际上，如果市场有可直接观测的caplet价格，上式可以进一步表达为caplet价值的解析式。在定价的时候这个波动率自然也是利用cap/floor的vol去校准。

让我们回到文章标的——有了利率期权之后，对于LPR互换这样一个unnatural time lags及其严重的IRS产品，我们完全可以重新审视他的估值。

不管LPR是不是市场化也好，利率是不是随机也好是不是连续也罢，作为中国第一个利率期权品种，cap/floor的波动率曲面作为中国第一张利率品的波动率曲面，希望它可以发挥更大的作用，可以让市场认识到利率作为标的的期权本身的复杂性和奇异性，让市场认识到时间的魅力。

参考文献：

1. DamianoBrigo, FabioMercurio. Interest Rate Models — Theory and Practice[M]. Springer, 2006.

2. Wu, Lixin. Interest‐Rate Modeling[M]// Encyclopedia of Actuarial Science. John Wiley & Sons, Ltd, 2006.

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4261673/blog/4289596

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