双调欧几里得旅行商问题(TSP)

最小环+欧拉回路=最短哈密顿图

介绍

TSP(Traveling Salesman Problem)即旅行商问题，是数学领域中著名问题之一。这个问题是这样的：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径长度为所有路径之中的最小值。TSP是一个典型的组合优化问题，且是一个NP完全难题，关于NP的这个概念本文就不做详细介绍了，但简单的说就是：TSP问题目前尚不能找到一个多项式时间复杂度的算法来求解。

n个城市第一次选择n-1个城市，第二次n-2... 即要遍历n！次，普通遍历复杂度太高

算法

所以TSP旅行商问题有以下4种算法

贪心算法
模拟退火算法
遗传算法
基本蚁群算法

https://blog.csdn.net/wordsin/article/details/79915328

双调欧几里得旅行商问题

这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

是对平面上给定的n个点确定一条连接各点的最短闭合旅程的问题。题目描述现在笛卡尔平面上有n(n<=1000)个点，每个点的坐标为(x,y)(-2^31<x,y<2^31，且为整数)，任意两点之间相互到达的代价为这两点的欧几里德距离输入格式第一行一个整数n 接下来n行，每行两个整数x,y，表示某个点的坐标。输入中保证没有重复的两点，保证最西端和最东端都只有一个点。输出格式一行，即最短回路的长度，保留2位小数。

思路

（1）首先将各点按照x坐标从小到大排列，时间复杂度为O(nlgn)。（2）寻找子结构：定义从Pi到Pj的路径为：从Pi开始，从右到左一直到P1，然后从左到右一直到Pj。在这个路径上，会经过P1到Pmax(i,j)之间的所有点且只经过一次。

模板

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define INF 1e30 //数据上限
using namespace std;
const int MAX = 1000;//点的最大数
int n;double dis[MAX][MAX],dp[MAX][MAX];
struct node{
    double x,y;
}a[MAX];
bool cmp(node a,node b) {
    return a.x < b.x;
}
double Euc(node a,node b){//计算欧几里得距离
    return sqrt(pow(a.x - b.x,2) + pow(a.y - b.y,2));
}
double DP(){
    sort(a,a + n,cmp);//排序
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = i + 1;j < n;j++){
            dis[i][j] = Euc(a[i],a[j]);
            dp[i][j] = INF;
        }
    }
    dp[0][1] = dis[0][1];
    for(int i = 0;i < n;i++){
        for(int j = i + 1;j < n;j++){
            dp[i][j + 1] = min(dp[i][j + 1],dp[i][j] + dis[j][j + 1]);

            dp[j][j + 1] = min(dp[j][j + 1],dp[i][j] + dis[i][j + 1]);
        }
    }
    double ans=INF;
    for(int i = 0;i < n - 1;i++) ans = min(ans,dp[i][n - 1] + dis[i][n - 1]);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0;i < n;i++)
        scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);

    double ans=DP();

    printf("%0.2lf\n",ans);
    return 0;
}

例题

来源：oschina

链接：https://my.oschina.net/u/4260070/blog/3432980

标签

traveling salesman