149.集合论

女生的网名这么多〃 提交于 2020-03-14 11:08:04

集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创始人是康托尔

现代数学中,每个对象(如数,函数等)本质上都是集合,都可以用某种集合来定义,数学的各个分支,本质上都是在研究某种对象集合的性质。集合论已成为现代全部数学的理论基础。

集合论的特点是研究对象的广泛性,它总结出由各种对象构成的集合的共同性质,并用统一的方法来处理。因此,集合论被广泛地应用于各种科学和技术领域。

由于集合论的语言适合于描述和研究离散对象及其关系,所以它也是计算机科学与工程的理论基础,而且在程序设计,数据结构,形式语言,关系数据库,操作系统等都有重要应用。

 

1.集合

1.1定义

集合:具有某种特殊性质的客体的聚合。

集合用大写的字母标记,
例如:A、B、C……

元素:属于任何集合的任何客体。

元素用小写字母标记,
例如:a、b、c、……

 

注意:

①元素与集合间的关系: 若 a 是集合 S 中的元素,则可写成 a∈ S ;

 若b不是集 S 合中的元素,则可写成 b∈ S 。

②集合 S 的基数(势):S中的元素个数。记为 |S| .

③有限集合:集合的基数(元素)是有限的。

    无限集合:集合的基数(元素)是无限的。

 

常用集合符:

Im (m≥1)         有限个正数的集合{1,2,3……m}

Nm (m≥0)        有限个自然数的集合{0,1,2……m}

以上是有限集合,下面是无限集合:

N      自然数集合{0,1,2……}

I+     正整数集合{1,2,3……}

I       整数集合 {……-1,0,1,2……}

P      素数集合 {大于1的正整数,只能被1和自己整除}

Q      有理数集合{  i/j.  i、j均为整数且 j≠0 }

R      实数集合 {有理数、无理数}

C      复数集合{a + bi,a、b可为实数 i = √-1 }

 

1.2集合的表示法

(1) 列举法  (将元素一一列出)

(2) 描述法  (用谓词概括元素的属性)

  所有集合均可用谓词公式来表示 

    注:同一集合可以用多种不同的形式表示。集合也可作为某一集合的元素。例如:S={ a{1,2}p{q} }

(3) 文氏图  文氏图的画法规则:规定矩形表示E。子集用圆画在E中。

    文氏图应用:(a)表示集合和运算的关系,可用文氏图画出各种运算(b)证明集合恒等式

 

1.3集合间的关系

(1)B为A的子集 B⊆A ;B为A的真子集 B⊂A
    B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A)     B⊄A⇔∃x(x∈B∧x∉A)
(2)集合A,B相等A=B     A=B⇔A⊆B∧B⊆A
(3)对任意集合A有A⊆A
(4)对任意集合A,有∅⊆A⊆E

 

1.4特殊集合:空集、全集合、集合族

 

全集:如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合,则称该集合为全集合,简称全集,用 E表示。

E={x | P(x)∨ ¬P(x) } P(x)为任何谓词公式.

 

空集:不拥有任何元素的集合称为空集(或称零集),用Ø表示,

Ø ={x | P(x)∧¬P(x) } = { }

注意:Ø ≠ {Ø} 前者是空集,是没有元素的集合;后者是以Ø作为元素的集合

 

集合族:集合中的元素均为集合,称这样的集合为集合族

例如A={{a},{b},{c、d}}

 

幂集:设A是集合,以A的所有子集作为元素的集合称为A的幂集。记作 ρ(A) 或 2A ,

且有:ρ(A) = {x | x ∈A}   例如:若A1={a},则 ρ(A1)={Φ ,{a}} 若A3=Ø,则  ρ(A3)={Ø}

讨论定义:

(a) 集合的元素个数称为集合的“基数”或叫“势”    |ρ(S)|=2 |s| 为幂集ρ(S)的基数

(b) 若A为有限集合,则ρ(A)也为有限集合。若A为无限集合,则ρ(A)也为无限集合。

(c) 一定有A∈ρ(A),Ø∈ρ(A),即对非空集合A,在幂集中至少有两个子集Ø和A。

 

索引集合:为了在计算机上表示集合,必须给每一个集合的元素加上标记,以用来表示元素在集合中的位置。

例如:S={a,b} 假设集合S中,a , b的位置已经固定。

则用二进制下标法来表示S的所有子集: Ø ={ }=B00,{a}=B10,{b}=B01,{a,b}=B11

这样ρ(S)={B00,B01,B10,B11}={Bi | i ∈ J}

其中J={00,01,10,11} (索引集合或指标集合)

 

笛卡尔乘积

1、定义

设A,B为二个任意集合,若序偶的第一个成员(左元素)是A的一个元素,序偶的第二个成员(右元素)是B的一个元素,则所有这样的序偶的集合称为A和B的笛卡尔乘积。

记作:A×B = {〈x,y〉|  (x ∈A) ∧ (y ∈B)  }       “×”不满足结合律。

 

n个集合的笛卡儿乘积的定义:

A1×A2×...×An={⟨x1,x2,⋯,xn ⟩|x1∈A1∧x2∈A2∧⋯∧xn∈An 

当时A1=A2=⋯=An=A时,记为 A

 A={a,b}    A2={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩,⟨b,b⟩}

 

2、笛卡儿积运算对∪和 ∩ 满足分配律

若A,B,C是三个集合,则有:

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)

A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)

注意:  

(1)若A是m元集,B是n元集,则A×B为mn元集

(2)笛卡儿积是集合,有关集合的运算都适合。

(3)笛卡儿积不满足交换律,即 A×B ≠ B×A.

(4)笛卡儿积不满足结合律,即 (A×B)×C ≠ A×(B×C)

 

 

 1.5 集合的运算

 集合运算律

 

 

 

 

 

 

 

 

易学教程内所有资源均来自网络或用户发布的内容,如有违反法律规定的内容欢迎反馈
该文章没有解决你所遇到的问题?点击提问,说说你的问题,让更多的人一起探讨吧!