集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创始人是康托尔 现代数学中,每个对象(如数,函数等)本质上都是集合,都可以用某种集合来定义,数学的各个分支,本质上都是在研究某种对象集合的性质。集合论已成为现代全部数学的理论基础。 集合论的特点是研究对象的广泛性,它总结出由各种对象构成的集合的共同性质,并用统一的方法来处理。因此,集合论被广泛地应用于各种科学和技术领域。 由于集合论的语言适合于描述和研究离散对象及其关系,所以它也是计算机科学与工程的理论基础,而且在程序设计,数据结构,形式语言,关系数据库,操作系统等都有重要应用。 |
1.集合
1.1定义
集合:具有某种特殊性质的客体的聚合。
集合用大写的字母标记,
例如:A、B、C……
元素:属于任何集合的任何客体。
元素用小写字母标记,
例如:a、b、c、……
注意:
①元素与集合间的关系: 若 a 是集合 S 中的元素,则可写成 a∈ S ;
若b不是集 S 合中的元素,则可写成 b∈ S 。
②集合 S 的基数(势):S中的元素个数。记为 |S| .
③有限集合:集合的基数(元素)是有限的。
无限集合:集合的基数(元素)是无限的。
常用集合符:
Im (m≥1) 有限个正数的集合{1,2,3……m}
Nm (m≥0) 有限个自然数的集合{0,1,2……m}
以上是有限集合,下面是无限集合:
N 自然数集合{0,1,2……}
I+ 正整数集合{1,2,3……}
I 整数集合 {……-1,0,1,2……}
P 素数集合 {大于1的正整数,只能被1和自己整除}
Q 有理数集合{ i/j. i、j均为整数且 j≠0 }
R 实数集合 {有理数、无理数}
C 复数集合{a + bi,a、b可为实数 i = √-1 }
1.2集合的表示法
(1) 列举法 (将元素一一列出)
(2) 描述法 (用谓词概括元素的属性)
所有集合均可用谓词公式来表示
注:同一集合可以用多种不同的形式表示。集合也可作为某一集合的元素。例如:S={ a,{1,2},p,{q} }
(3) 文氏图 文氏图的画法规则:规定矩形表示E。子集用圆画在E中。
文氏图应用:(a)表示集合和运算的关系,可用文氏图画出各种运算(b)证明集合恒等式
1.3集合间的关系
(1)B为A的子集 B⊆A ;B为A的真子集 B⊂A
B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A) B⊄A⇔∃x(x∈B∧x∉A)
(2)集合A,B相等A=B A=B⇔A⊆B∧B⊆A
(3)对任意集合A有A⊆A
(4)对任意集合A,有∅⊆A⊆E
1.4特殊集合:空集、全集合、集合族
全集:如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合,则称该集合为全集合,简称全集,用 E表示。
E={x | P(x)∨ ¬P(x) } P(x)为任何谓词公式.
空集:不拥有任何元素的集合称为空集(或称零集),用Ø表示,
Ø ={x | P(x)∧¬P(x) } = { }
注意:Ø ≠ {Ø} 前者是空集,是没有元素的集合;后者是以Ø作为元素的集合。
集合族:集合中的元素均为集合,称这样的集合为集合族。
例如A={{a},{b},{c、d}}
幂集:设A是集合,以A的所有子集作为元素的集合称为A的幂集。记作 ρ(A) 或 2A ,
且有:ρ(A) = {x | x ∈A} 例如:若A1={a},则 ρ(A1)={Φ ,{a}} 若A3=Ø,则 ρ(A3)={Ø}
讨论定义:
(a) 集合的元素个数称为集合的“基数”或叫“势” |ρ(S)|=2 |s| 为幂集ρ(S)的基数
(b) 若A为有限集合,则ρ(A)也为有限集合。若A为无限集合,则ρ(A)也为无限集合。
(c) 一定有A∈ρ(A),Ø∈ρ(A),即对非空集合A,在幂集中至少有两个子集Ø和A。
索引集合:为了在计算机上表示集合,必须给每一个集合的元素加上标记,以用来表示元素在集合中的位置。
例如:S={a,b} 假设集合S中,a , b的位置已经固定。
则用二进制下标法来表示S的所有子集: Ø ={ }=B00,{a}=B10,{b}=B01,{a,b}=B11
这样ρ(S)={B00,B01,B10,B11}={Bi | i ∈ J}
其中J={00,01,10,11} (索引集合或指标集合)
笛卡尔乘积
1、定义
设A,B为二个任意集合,若序偶的第一个成员(左元素)是A的一个元素,序偶的第二个成员(右元素)是B的一个元素,则所有这样的序偶的集合称为A和B的笛卡尔乘积。
记作:A×B = {〈x,y〉| (x ∈A) ∧ (y ∈B) } “×”不满足结合律。
n个集合的笛卡儿乘积的定义:
A1×A2×...×An={⟨x1,x2,⋯,xn ⟩|x1∈A1∧x2∈A2∧⋯∧xn∈An
当时A1=A2=⋯=An=A时,记为 An
A={a,b} A2={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩,⟨b,b⟩}
2、笛卡儿积运算对∪和 ∩ 满足分配律
若A,B,C是三个集合,则有:
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
注意:
(1)若A是m元集,B是n元集,则A×B为mn元集
(2)笛卡儿积是集合,有关集合的运算都适合。
(3)笛卡儿积不满足交换律,即 A×B ≠ B×A.
(4)笛卡儿积不满足结合律,即 (A×B)×C ≠ A×(B×C)
1.5 集合的运算
集合运算律
来源:https://www.cnblogs.com/ZanderZhao/p/11009960.html