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微积分公式与解法大全

由 蹲街弑〆低调 提交于 2020-02-29 20:00:25

微积分公式与解法大全

文章目录

1 微积分运算法则

设函数uu、vv均为可导函数，kk、ll为常数。

序号 导数 微分
1 (ku+lv)′=ku′+lv′(ku+lv)'=ku'+lv' d(ku+lv)=kdu+ldvd(ku+lv)=kdu+ldv
2 (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' d(uv)=vdu+udvd(uv)=vdu+udv
3 (uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} d(uv)=vdu−udvv2d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{v^2}
4 dydx=dydududx\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} dy=f′[φ(x)]φ′(x)dx=f′(u)dudy=f'[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=f'(u)du

注意：y=f(u),u=φ(x)y=f(u),u=\varphi(x)均为可导函数，则函数f[φ(x)]f[\varphi(x)]为可导函数。

2 微积分基本公式

序号 导数 微分 积分
1 xμ=μxμ−1x^{\mu}={\mu}x^{\mu-1} d(xμ)=μxμ−1dxd(x^{\mu})={\mu}x^{\mu-1}dx ∫xμdx=xμ+1μ+1\int x^{\mu}dx=\frac{x^{\mu+1}}{\mu +1}
2 (ex)′=ex(e^x)'=e^x d(ex)=exdxd(e^x)=e^xdx ∫exdx=ex+c\int e^xdx=e^x+c
3 (ax)′=axlna(a^x)'=a^xlna d(ax)=axlnadxd(a^x)=a^xlnadx ∫axdx=axlna+c\int a^xdx=\frac{a^x}{lna}+c
4 (lnx)′=1x(lnx)'=\frac{1}{x} d(lnx)=1xdxd(lnx)=\frac{1}{x}dx
5 (logax)′=1xlna(log_ax)'=\frac{1}{xlna} d(logax)=1xlnadxd(log_ax)=\frac{1}{xlna}dx
6 (sinx)′=cosx(sinx)'=cosx d(sinx)=cosxdxd(sinx)=cosxdx ∫sinxdx=−cosx+c\int sinxdx=-cosx + c
7 (cosx)′=−sinx(cosx)'=-sinx d(cosx)=−sinxdxd(cosx)=-sinxdx ∫cosxdx=sinx+c\int cosxdx=sinx + c
8 (tanx)′=sec2x(tanx)'=sec^2x d(tanx)=sec2xdxd(tanx)=sec^2xdx
9 (cotx)′=−csc2x(cotx)'=-csc^2x d(cotx)=−csc2xdxd(cotx)=-csc^2xdx
10 (secx)′=secx⋅tanx(secx)'=secx \cdot tanx d(secx)=secx⋅tanxdxd(secx)=secx \cdot tanxdx
11 (cscx)′=−cscx⋅cotx(cscx)'=-cscx \cdot cotx d(cscx)=−cscx⋅cotxdxd(cscx)=-cscx \cdot cotxdx
12 (arcsinx)′=11−x2(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d(arcsinx)=11−x2dxd(arcsinx)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx ∫11−x2dx=arccosx+c\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arccosx+c
13 (arccosx)′=−11−x2(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d(arccosx)=−11−x2dxd(arccosx)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx
14 (arctanx)′=11+x2(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2} d(arctanx)=11+x2dxd(arctanx)=\frac{1}{1+x^2}dx ∫11+x2dx=arctanx+c\int \frac{1}{1+x^2}dx=arctanx+c
15 (arccotx)′=−11+x2(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} d(arccotx)=−11+x2dxd(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}dx

补充（积分公式）：
(1) ∫tanxdx=−ln∣cosx∣+c\int tanxdx=-ln \left| cosx \right|+ c
(2) ∫cotxdx=ln∣sinx∣+c\int cotxdx=ln \left| sinx \right|+c
(3) ∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+c\int secxdx=ln \left|secx+tanx \right|+c
(4) ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+c\int cscxdx=ln \left|cscx-cotx \right|+c
(5) ∫1a2+x2dx=1aarctanxa+c\int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a} arctan\frac{x}{a}+c
(6) ∫1x2−a2dx=12aln∣x−ax+a∣+c\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln \left|\frac{x-a}{x+a} \right|+c
(7) ∫1a2−x2dx=arcsinxa+c\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+c
(8) ∫1x2±a2dx=ln∣x+x2±a2∣+c\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2 }}dx=ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2} \right|+c

3 不定积分

3.1 第一类换元法——凑微分

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=F(x)+c\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=F(x)+c

要点：凑出中间变量的导数形式

常见换元积分形式：

序号 积分等式 换元公式
1 ∫f(ax+b)dx=1a∫f(ax+b)d(ax+b)\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a} \int f(ax+b)d(ax+b) u=ax+bu=ax+b
2 ∫f(xμ)xμ−1dx=1μ∫f(xμ)d(xμ)\int f(x^\mu)x^{\mu-1}dx=\frac{1}{\mu} \int f(x^\mu)d(x^{\mu}) u=xμu=x^\mu
3 ∫f(lnx)⋅1xdx=∫f(lnx)d(lnx)\int f(lnx) \cdot \frac{1}{x}dx=\int f(lnx)d(lnx) u=lnxu=lnx
4 ∫f(ex)⋅exdx=∫f(ex)d(ex)\int f(e^x) \cdot e^xdx=\int f(e^x)d(e^x) u=exu=e^x
5 ∫f(ax)⋅axdx=1lna∫f(ax)d(ax)\int f(a^x) \cdot a^xdx=\frac{1}{lna} \int f(a^x)d(a^x) u=axu=a^x
6 ∫f(sinx)⋅cosxdx=∫f(sinx)d(sinx)\int f(sinx) \cdot cosxdx=\int f(sinx)d(sinx) u=sinxu=sinx
7 ∫f(cosx)⋅sinxdx=−∫f(cosx)d(cosx)\int f(cosx) \cdot sinxdx=-\int f(cosx)d(cosx) u=cosxu=cosx
8 ∫f(tanx)⋅sec2xdx=∫f(tanx)d(tanx)\int f(tanx) \cdot sec^2xdx=\int f(tanx)d(tanx) u=tanxu=tanx
9 ∫f(cotx)⋅csc2xdx=∫f(cotx)d(cotx)\int f(cotx) \cdot csc^2xdx=\int f(cotx)d(cotx) u=cotxu=cotx
10 ∫f(arctanx)⋅11+x2dx=∫f(arctanx)d(arctanx)\int f(arctanx) \cdot \frac{1}{1+x^2} dx=\int f(arctanx)d(arctanx) u=arctanxu=arctanx
11 ∫f(arcsinx)⋅11−x2dx=∫f(arcsinx)d(arcsinx)\int f(arcsinx) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx=\int f(arcsinx)d(arcsinx) u=arcsinxu=arcsinx

3.2 第二类换元法——变量替换

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]⋅φ′(t)dt=F(t)+C=F[φ−1(x)]+C\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)] \cdot \varphi'(t)dt=F(t)+C=F[\varphi^{-1}(x)]+C

要点：对根式函数的处理方法

原变量 替换变量
f(a+bx)f(\sqrt{a+bx}) t=a+bxt=\sqrt{a+bx}
f(a2−x2)f(\sqrt{a^2-x^2}) x=asintx=asint
f(a2+x2)f(\sqrt{a^2+x^2}) x=atantx=atant
f(x2−a2)f(\sqrt{x^2-a^2}) x=asectx=asect

3.3 分部积分

∫uv′dx=uv−∫u′vdx=uv−∫udv\int uv'dx=uv-\int u'vdx=uv-\int udv

类别 形式 分部取值
1 ∫xmexdx，∫xmsinxdx，∫xmcosxdx\int x^me^xdx，\int x^msinxdx，\int x^mcosxdx u=xmu=x^m
2 ∫xmlnx，∫xmarcsinxdx，∫xmarctanxdx\int x^mlnx，\int x^marcsinxdx，\int x^marctanxdx v=xmv=x^m
3 ∫eaxsinbxdx，∫eaxcosbxdx\int e^{ax}sinbxdx，\int e^{ax}cosbxdx u=eax,sinx,cosxu=e^{ax},sinx,cosx 均可

uu的选取技巧（优先原则）：“对数函数、反函数、幂函数、三角函数、指数函数”（对、反、幂、三、指）

3.4 有理函数的积分方法——高斯分解

解决题型：∫Pn(x)Pm(x)dx\int \frac{P_n(x)}{P_m(x)}dx，其中Pn(x)P_n(x)与Pm(x)P_m(x)分别是nn次和mm次的多项式(n<mn<m).

形式 高斯分解
f(x)=P(x)(x−a)2(x−b)f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)} f(x)=P(x)(x−a)2(x−b)=Ax−a+B(x−a)2+Cx−bf(x)=\frac{P(x)}{(x-a)^2(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}+\frac{C}{x-b}
f(x)=P(x)(x−a)(x2+bx+C)f(x)=\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+C)} f(x)=P(x)(x−a)(x2+bx+C)=Ax−a+Bx+Cx2+bx+cf(x)=\frac{P(x)}{(x-a)(x^2+bx+C)}=\frac{A}{x-a}+\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}

4 微分方程

4.1 一阶微分方程

名称 形式 解法
可分离变量微分方程 M(x)dx=N(y)dyM(x)dx=N(y)dy 两边同时积分
齐次方程 dydx=f(yx)\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x}) ①令u=yxu=\frac{y}{x}；
②y=uxy=ux；
③u+xdudx=f(u)u+x\frac{du}{dx}=f(u)；
④duf(u)−u=dxx\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}
一阶齐次线性微分方程 y′+P(x)y=0y'+P(x)y=0 分离变量法
一阶非齐次线性微分方程 y′+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x) y=e−∫P(x)dx(e∫P(x)dx⋅Q(x)dx+C)y=e^{-\int P(x)dx}(e^{\int P(x)dx} \cdot Q(x)dx+C)
可降解高阶微分方程(1) y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x) 逐次积分
可降解高阶微分方程(2) y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')
含y′′,y′,xy'',y',x，但不能含有yy		 ①换元法：设y′=p，y′′=p′=dpdxy'=p，y''=p'=\frac{dp}{dx}
②分离变量法
伯努利方程 y’+P(x)y=Q(x)y(n)y’+P(x)y=Q(x)y^{(n)} ①令z=y1−nz=y^{1-n}
②z′+(1−n)P(x)z=(1−n)Q(x)z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)

4.2 二阶微分方程

(1) 二阶常系数齐次线性微分方程

  • 形式：y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0
  • 通解结构：y1，y2y_1，y_2是微分方程的特解，且y1y2≠k\frac{y_1}{y_2} \not= k，则 y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2是微分方程的通解
  • 求解方法总结：
 1. 提取特征方程； 
 2. 解特征方程； 
 3. 判断特征方程类型； 
 4. 根据特征根与通解关系表带入特征根计算得出结果。
  • 特征根与通解关系表
特征根 通解
r1≠r2r_1 \not= r_2 y=c1er1x+c2er2xy=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}
r1=r2=kr_1=r_2=k y=(c1+c2x)ekxy=(c_1+c_2x)e^{kx}
r=α±βir=\alpha \pm \beta i y=eαx(c1sinβx+c2cosβx)y=e^{\alpha x}(c_1sin\beta x+c_2cos\beta x)
  • 特征方程与特征根的推导

y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0，其中p,qp,q均为常数

令y=erxy=e^{rx}，则y′=rerx，y′′=r2erxy'=re^{rx}，y''=r^2e^{rx}

带入微分方程可得：

r2erx+p⋅rerx+q⋅erx=0r^2e^{rx}+p \cdot re^{rx}+q \cdot e^{rx}=0

(r2+p⋅r+q)erx=0(r^2+p \cdot r+q)e^{rx}=0

r2+p⋅r+q=0r^2+p \cdot r+q=0 (特征方程)

r=−b±b2−4ac2ar=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} (特征根)

  • 例题

求：微分方程y′′+2y′+3y=0y''+2y'+3y=0的通解.

解：由题可知特征方程为：r2+2r+3=0r^2+2r+3=0

由配方法得：(r+1)2=−2(r+1)^2=-2

r=−1±−2=−1±2⋅−1=−1±2ir=-1 \pm \sqrt{-2}=-1 \pm \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}=-1 \pm \sqrt{2}i

∴\therefore 特征根是一对共轭复根

∴α=−1，β=2\therefore \alpha = -1，\beta=\sqrt{2}

∴y=e−x(c1sin2x+c2cos2x)\therefore y=e^{-x}(c_1sin\sqrt{2}x+c_2cos\sqrt{2}x)

(2) 二阶常系数非齐次线性微分方程

  • 形式：y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)
  • 通解结构：y=y∗+y‾y=y^* + \overline{y}
    • y∗y^*是y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)的一个特解
    • y‾\overline{y}是对应的齐次微分方程y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0的通解
  • 特解y∗y^*的求解方法总结：
 1.写出特解的组成；
 2.分别求解特解成分的未知参数：Qn(x)、k； 
 3.将求出的参数值带入特解。

类型一

题型：y′′+py′+qy=Pn(x)eαxy''+py'+qy=P_n(x)e^{\alpha x}，Pn(x)P_n(x)是nn次多项式，α\alpha为已知值

特解：y∗=xk⋅Qn(x)⋅eαxy^*=x^k \cdot Q_n(x) \cdot e^{\alpha x}

待解：Qn(x)，kQ_n(x)，k

① Qn(x)Q_n(x)是最高次幂为nn的多项式的标准形式

最高次幂 最高次幂为nn的多项式的标准形式
0 aa
1 ax+bax+b
2 ax2+bx+cax^2+bx+c

② kk 由特征方程的特征根与α\alpha的关系决定

α\alpha与特征根的关系 kk的取值
α\alpha 不是特征根 k=0k=0
α\alpha 是特征单根 k=1k=1
α\alpha与特征重根 k=2k=2

类型二

题型：y′′+py′+qy=eαx(Asinβx+Bcosβx)y''+py'+qy=e^{\alpha x}(Asin\beta x+Bcos\beta x)，α，β\alpha，\beta为已知值

特解：y∗=xk⋅eαx⋅(csinβx+dcosβx)y^*=x^k \cdot e^{\alpha x} \cdot(csin\beta x+dcos\beta x)，c，dc，d为常数，无需求解

待解：kk

kk 由特征方程的特征根与α+βi\alpha + \beta i的关系决定

α+βi\alpha + \beta i与特征根的关系 kk的取值
α+βi\alpha + \beta i 不是特征根 k=0k=0
α+βi\alpha + \beta i 是特征单根 k=1k=1
  • 例题

y′′−4y′+4y=(2x+1)e2xy''-4y'+4y=(2x+1)e^{2x}的特解y∗y^*应设为？

解：由题可知

特解组成为：y∗=xk(ax+b)e2xy^*=x^k(ax+b)e^{2x}

特征方程为：r2−4r+4=0r^2-4r+4=0

解得特征根：r1=r2=2r_1=r_2=2

∵α=2=r1=r2\because \alpha =2=r_1=r_2

∴α\therefore \alpha 是特征方程的特征重根

∴k=2\therefore k=2

∴\therefore 特解应设为：y∗=x2(ax+b)e2xy^*=x^2(ax+b)e^{2x}

注意：二阶常系数非齐次线性微分方程的通解由两部分组成（y=y∗+y‾y=y^* + \overline{y}），求解时应注意解得完整性！例题只给出了二阶常系数非齐次线性微分方程特解的步骤，并不是完整的二阶常系数非齐次线性微分方程题型，对应的齐次方程的通解请参考4.2(1)。

5 三角函数公式大全

5.1 基本三角公式定义

名称 函数名 名称 函数名 名称 函数名
正弦 sinA=acsinA = \frac{a}{c} 余弦 sinA=bcsinA = \frac{b}{c} 正切 sinA=absinA = \frac{a}{b}
余割 cotA=bacotA = \frac{b}{a} 正割 secA=cbsecA = \frac{c}{b} 余割 sinA=casinA = \frac{c}{a}

5.2 诱导公式

sin(−a)=−sin(a)sin(-a)=-sin(a) cos(−a)=cos(a)cos(-a)=cos(a)
sin(π2−a)=cos(a)sin(\frac{\pi}{2}-a)=cos(a) cos(π2−a)=sin(a)cos(\frac{\pi}{2}-a)=sin(a)
sin(π2+a)=cos(a)sin(\frac{\pi}{2}+a)=cos(a) cos(π2+a)=−sin(a)cos(\frac{\pi}{2}+a)=-sin(a)
sin(π−a)=sin(a)sin(\pi-a)=sin(a) cos(π−a)=−cos(a)cos(\pi-a)=-cos(a)
sin(π+a)=−sin(a)sin(\pi+a)=-sin(a) cos(π+a)=−cos(a)cos(\pi+a)=-cos(a)
tgA=tanA=sinA/cosAtgA=tanA=sinA/cosA 口诀：奇变偶不变，符号看象限

5.3 两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1−tan(a)tan(btan(a+b)=\frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b} tan(a−b)=tan(a)−tan(b)1+tan(a)tan(b)tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}

5.4 和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sina+b2cosa−b2sin(a)+sin(b)=2sin \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2} sin(a)−sin(b)=2cosa+b2sina−b2sin(a)-sin(b)=2cos \frac{a+b}{2}sin \frac{a-b}{2}
cos(a)+cos(b)=2cosa+b2cosa−b2cos(a)+cos(b)=2cos \frac{a+b}{2}cos \frac{a-b}{2} cos(a)−cos(b)=−2sina+b2sina−b2cos(a)-cos(b)=-2sin \frac{a+b}{2}sin \frac{a-b}{2}

5.5 积化和差公式

sin(a)sin(b)=−12[cos(a+b)−cos(a−b)]sin(a)sin(b)=-\frac{1}{2}[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12[cos(a+b)+cos(a−b)]cos(a)cos(b)=\frac{1}{2}[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sin(a)cos(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=12[sin(a+b)−sin(a−b)]cos(a)sin(b)=\frac{1}{2}[sin(a+b)-sin(a-b)]

5.6 二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(a)sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)−sin2(a)=2cos2(a)−1=1−2sin2(a)cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
tan(2A)=2tanA1−tan2Atan(2A)=\frac{2tanA}{1-tan^2A}

5.7 半角公

sin(a2)=1−cos(a)2sin(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1-cos(a)}{2}} cos(a2)=1+cos(a)2cos(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(a)}{2}}
tan(a2)=1−cos(a)sin(a)=sin(a)1+cos(a)tan(\frac{a}{2})=\frac{1-cos(a)}{sin(a)}=\frac{sin(a)}{1+cos(a)} cot(a2)=1+cos(a)1−cos(a)cot(\frac{a}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(a)}{1-cos(a)}}

5.8 万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)sin(a)= \frac{2tan(\frac{a}{2})}{1+tan^2(\frac{a}{2})} cos(a)=1−tan2(a2)1+tan2(a2)cos(a)= \frac{1-tan^2(\frac{a}{2})}{1+tan^2(\frac{a}{2})}
tan(a)=2tan(a2)1−tan2(a2)tan(a)= \frac{2tan(\frac{a}{2})}{1-tan^2(\frac{a}{2})} sin2(a)+cos2(a)=1sin^2(a)+cos^2(a)=1

5.9 其它公式

a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c)[其中，tan(c)=ba]a\cdot sin(a)+b\cdot cos(a)=\sqrt{a^2+b^2}sin(a+c) [其中，tan(c)=\frac{b}{a}]
a⋅sin(a)−b⋅cos(a)=a2+b2cos(a−c)[其中，tan(c)=ab]a\cdot sin(a)-b\cdot cos(a)=\sqrt{a^2+b^2}cos(a-c) [其中，tan(c)=\frac{a}{b}]
1+sin(a)=[sin(a2)+cos(a2)]21+sin(a)=[sin(\frac{a}{2})+cos(\frac{a}{2})]^2
1−sin(a)=[sin(a2)−cos(a2)]21-sin(a)=[sin(\frac{a}{2})-cos(\frac{a}{2})]^2

5.10 其他非重点

  • csc(a)=1sin(a)csc(a)=\frac{1}{sin(a)}
  • sec(a)=1cos(a)sec(a)=\frac{1}{cos(a)}

5.11 双曲函数

sinh(a)=ea−e−a2sinh(a)=\frac{e^a-e^{-a}}{2} sinh(a)=ea+e−a2sinh(a)=\frac{e^a+e^{-a}}{2}
tgh(a)=tanh(a)=sinh(a)cosh(a)tgh(a)=tanh(a)=\frac{sinh(a)}{cosh(a)}
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