微分方程

1.1微分方程及其解的定义习题参考解答 1.2微分方程及其解的几何解释习题参考解答 2.1恰当方程习题参考解答 2.2变量分离的方程习题参考解答 2.3一阶线性方程习题参考解答 2.4初等变换法习题参考解答 2.5积分因子法习题参考解答 2.6应用举例习题参考解答 3.1Picard 存在和唯一性定理习题参考解答 3.2Peano 存在性定理习题参考解答 3.3解的延拓习题参考解答 3.4比较定理及其应用习题参考解答 4.1一阶隐式微分方程习题参考解答 4.2奇解习题参考解答 4.3包络习题参考解答 5.1几个例子习题参考解答 5.2n维线性空间的微分方程习题参考解答 5.3解对初值和参数的连续依赖性习题参考解答 5.4解对初值和参数的连续可微性习题参考解答 6.1一般理论习题参考解答 6.2常系数线性微分方程组习题参考解答 6.3高阶线性微分方程习题参考解答 6.4算子法和 Laplace 变换法简介习题参考解答 7.1Cauchy 定理习题参考解答 7.2幂级数解法习题参考解答 7.3Legendre 多项式习题参考解答 7.4广义幂级数解法习题参考解答 7.5Bessel 函数习题参考解答 8.2解的稳定性习题参考解答 8.3平面上的动力系统, 奇点与极限环习题参考解答 9.1Sturm 比较定理习题参考解答 9.2Sturm--Liouville

该系列为3Blue1Brown微分方程系列视频笔记，原视频可见： https://www.bilibili.com/video/av50290975或https://www.youtube.com/watch?v=p_di4Zn4wz4&list=PLZHQObOWTQDNPOjrT6KVlfJuKtYTftqH6 由于笔者水平有限，文中难免存在一些不足和错误之处，诚请各位批评指正。 1 引言 在 3B1B微分方程系列笔记（三） 中我们介绍了求解热传导公式步骤中的两个条件，偏微分方程本身和边界条件。我们了解到余弦函数可以作为合适的解，但现实中的温度曲线往往与余弦函数相差甚远。因此我们需要将多个余弦函数通过线性组合的方式来拟合温度曲线，因为多个解的线性组合是一个新的方程的解。该篇将介绍拟合的强有力的方式——傅里叶级数。但是该篇笔记并不包含视频内全部知识点，仅包含笔者暂时理解的部分知识点，所以这里强烈建议大家从原视频学习，或者马同学的 如何理解傅里叶级数公式 。 2 理解与求解 傅里叶级数的公式长这个样： \[ \begin{aligned}f(t) &=\frac{a_{0}}{2}+a_{1} \cos (\omega t)+b_{1} \sin (\omega t) \\&+a_{2} \cos (2 \omega t)+b_{2} \sin (2 \omega t) \\&+

表1 解常微分方程主要MATLAB指令 主题词 意义 主题词 意义 ode45 4、5阶Runge-kutta法 ode23s 刚性方程组二阶Rosenbrock法 ode23 2、3阶Runge-kutta法 ode23tb 刚性方程组低精度算法 ode113 多步Adams算法 bvpinit 边值问题预估计 odeset 解ode选项设置 bvp4c 边值问题解法 ode23t 适度刚性问题梯形算法 deval 微分方程解的求值 ode15s 刚性方程组多步Gear法 微分方程的相关知识 1、微分方程的概念 含有未知的函数及其某些阶的导数以及自变量本身的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。如果未知函数是多元函数，称为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。如果方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程。若各系数为常数，称之为常系数（或定常、自治、时不变）的。 2、初等积分法 有些方程可以直接通过积分求解。例如，一阶常系数线性常微分方程 y’=ay+b (a!=0) 可化为 dy/(ay+b)=dt 两边积分可得通解为： y(t)=Cexp(at)-a^-1b 其中C为任意常数 3、常系数线性微分方程 例1 求x’’+0.2x’+3.92x=0的通解。 解：

微积分公式与解法大全 文章目录 微积分公式与解法大全 1 微积分运算法则 2 微积分基本公式 3 不定积分 3.1 第一类换元法——凑微分 3.2 第二类换元法——变量替换 3.3 分部积分 3.4 有理函数的积分方法——高斯分解 4 微分方程 4.1 一阶微分方程 4.2 二阶微分方程 5 三角函数公式大全 5.1 基本三角公式定义 5.2 诱导公式 5.3 两角和与差的三角函数 5.4 和差化积公式 5.5 积化和差公式 5.6 二倍角公式 5.7 半角公 5.8 万能公式 5.9 其它公式 5.10 其他非重点 5.11 双曲函数 1 微积分运算法则 设函数 u u u 、 v v v 均为可导函数， k k k 、 l l l 为常数。 序号 导数 微分 1 ( k u + l v ) ′ = k u ′ + l v ′ (ku+lv)'=ku'+lv' ( k u + l v ) ′ = k u ′ + l v ′ d ( k u + l v ) = k d u + l d v d(ku+lv)=kdu+ldv d ( k u + l v ) = k d u + l d v 2 ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ d ( u v ) = v d u + u d v d(uv)

一、python 解微分方程 python有用于求解常微分方程的库，库里面提供了不少功能，例如sympy的dsolve，以及scipy.integrate.odeint。其具体用法可参考官方文档，这里就不过多赘述，举两个例子看下效果 1、利用dsolve求解析解 f ( x ) ′ ′ + f ( x ) = 0 {f(x)}'' + f(x) = 0 f ( x ) ′ ′ + f ( x ) = 0 import sympy as sy def fun ( x , f ) : return sy . diff ( f ( x ) , x , 2 ) + f ( x ) x = sy . symbols ( 'x' ) # 变量符号 f = sy . Function ( 'f' ) # 函数符号 sy . pprint ( sy . dsolve ( fun ( x , f ) , f ( x ) ) ) # 打印等式 我们能得到以下方程 f ( x ) = C₁⋅sin ( x ) + C₂⋅cos ( x ) 取 c 1 = 1 , c 2 = 1 c_1=1, c_2=1 c 1 ​ = 1 , c 2 ​ = 1 ，我们用matplotlab把他的图像画出来： t = np . arange ( 0 , 5 , 0.001 ) y = np . sin ( t ) +

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~ 一阶常系数微分方程 A u = d u d t 将一阶常系数微分方程转换为线性代数问题的关键在于常系数微分方程的解一定是 指数形式 的。那么我们的需要求解的东西就是指数的系数和指数的幂，而这可以转换为线性代数问题。 解的指数形式通常是自然常数 e 的指数（猜测是因为时域信号可以转到频域，傅里叶变换，这方面学识浅薄） 这个形式很容易让我们联想到之前对于矩阵 A 的幂的求解，这里看一个例子： 这里问题被转换为了求解 A u = d u d t 特征值与特征向量 先找 A 的特征值和特征向量 求解特征值 两个小技巧： 行列式determinant为特征值的积 矩阵的迹trace为特征值的和 当然可以直接求解determinant=0得到特征值： 由于老师直接剧透 e 的幂系数中为矩阵 A 的特征值，那么对于特征值-3来说，随着t的增加，最终这一项为0；而对于特征值0来说，随着t增加，最终这一项为某一个确定值（解会收敛）；举一反三：对于特征值大于0，随着t增加，解发散。 求解特征向量 两个小技巧： 对于特征值为0，特征向量即为null space，free variable自由变量置1很容易求得 对于另一个特征值-3，利用 A − λ I 特征向量不变，也可以转换为求解null space

Taylor展开 在数学中泰勒展开可以把一个函数f(x)展开成关于某一点的导数(0次到N次)的函数,这样就可以近似计算一个函数,得到在某点及其附近信息的近似描述。 傅里叶变换 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、 光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量，。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数，正弦和/或余弦函数，或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是， 一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加或从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但它确有固定的周期，或者说，给定一个周期我们就能画出整个区间上的分信号，那么给定一组周期值，或频率值，，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样

通过向量场能很直观的看到微分方程所有解的变化规律。 这里随便设了个方程：dx/dt = sin(t)*cos(x)+sin(t)。 由于方程本身就代表了x在t处的斜率，所以： vt = cos(atan(f)); vx = sin(atan(f)); matlab代码如下： clear all; close all; clc; t = -5:0.3:5; x = -5:0.3:5; f = @(t,x) sin(t).*cos(x)+sin(t); [t,x] = meshgrid(t,x); vt = cos(atan(f(t,x))); vx = sin(atan(f(t,x))); quiver(t,x,vt,vx); hold on [t,x] = ode45(f,[-5 5],[3;-2;-4]); plot(t,x,'r'); 结果如下： 红线为微分方程的三个特解。 来源： https://www.cnblogs.com/tiandsp/p/12291668.html

常微分方程 数值解法 h为步长； f为传入函数 欧拉方法 function [x, y] = Euler(x0, x1, y0, h, f) n = floor((x1 - x0) / h); x = zeros(n + 1, 1); y = zeros(n + 1, 1); x(1) = x0; y(1) = y0; for i = 1 : n x(i + 1) = x(i) + h; y(i + 1) = y(i) + h * f(x(i),y(i)); end end 三阶龙格库塔方法 function [x, y] = runge3(x0, x1, y0, h, fun) n = floor((x1 - x0) / h); x = zeros(n + 1, 1); y = zeros(n + 1, 1); x(1) = x0; y(1) = y0; for i = 1:n x(i + 1) = x(i) + h; k1 = fun(x(i), y(i)); k2 = fun(x(i) + h/2, y(i) + k1*h/2); k3 = fun(x(i) + h, y(i) - h*k1 + k2*h*2); y(i + 1) = y(i) + (k1 + 4*k2 + k3)*h/6; end end 四阶龙格库塔法 function [x, y] = runge4

链接：https://www.zhihu.com/question/361526180/answer/962015370 微分方程中通解与特解的定义： y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程； y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，为二阶常系数非齐次线性方程。 可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。 对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。由此得到的解，称为【通解】，通解代表着这是解的集合。 因为M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。 求微分方程通解的方法： 方程 及其导数是一次方程. 如果 ，则方程（1）称为 齐次的 ；如果 ，则方程（1）称为 非齐次的 . 为了求出非齐次线性方程（1）的解，我们先把 换成零而写成方程 两端积分，得 这便是对应的齐次线性方程（2）的通解. 常数变易法 ：把（2）的通解中的 换成 的未知函数 ，作变换 将（3）和（4）代入方程（1），得 两端积分，得 将（5）式改写成两项之和 便得到这个特解）. 一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和. 求方程 的通解. 也即 换成 ，即令 代入所给非齐次方程，得 再把上式代入(6)式，即得所求方程的通解为 来源： https: