二叉树的定义和性质

文章目录

• 树的定义
• 二叉树的定义
• 二叉树的性质

树的定义

树 (Tree) 是 n ( n ≥ 0 ) 个结点的有限集。n = 0 时称为空树。

在任意一棵非空树中:

• 有且仅有一个特定的称为根 (Root) 的结点
• 当 n > 1 时，其余结点可分为 m (m > 0)个互不相交的有限集 T1、T2 ····· Tm, 其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树( SubTree)，如图所示：
  
• n > 0 时根结点是唯一 的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树是只能有一个根结点
• m > 0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree)。 度为 0 的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点；度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。如图所示，因为这棵树结点的度的最大值是结点D的度，为3,所以树的度也为3。

结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟( Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。如图，所以对于H来说，D、B、A都是它的祖先。反之，以某结点为根的子树中的任结点都称为该结点的子孙。 B的子孙有D，G，H，I。

树的其他相关概念

结点的层次 (Level) 从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结
点在第 n 层 则其子树的根就在第 n+1 层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度 (Depth) 或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林 (Forest) 是 m (m>=0) 棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

线性表与树的区别

线性结构	树结构
第一个数据元素:无前驱	根结点:无双亲，唯一
最后一个数据元素:无后继	叶结点:无孩子，可以多个
中间元素:一个前驱一个后继	中间结点:一个双亲多个孩子

---

二叉树的定义

二叉树(Binany Tree)是 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点

• 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。没有子树或者有一棵子树也是可以的
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

二叉树的五种基本形态

1.空二叉树。
2.只有一个根结点。
3.根结点只有左子树。
4.根结点只有右子树。
5.根结点既有左子树又有右子树。

如图是五种不同的二叉树：

特殊二叉树

• 斜树

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

斜树每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。
其实线性表结构就可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式。

• 满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子称在同层上，这样的二叉树称为满二叉树。

单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。

满二叉树的特点:
（1）叶子只能出现在最下一层
（2）非叶子结点的度一定是 2
（3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

• 完全二叉树

对一棵具有 n 个结点的二叉树按层序编号， 如果编号为 i (1 ≤ i ≤ n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

该图中的二叉树是完全二叉树

该图中的二叉树不是完全二叉树

完全二叉树的特点：

(1) 叶子结点只能出现在最下两层。
(2) 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
(3) 倒数二层，若有叶子结点，一 定都在右部连续位置
(4) 如果结点度为 1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
(5) 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

二叉树的性质

二叉树的性质：

1.在二叉树的第 i 层上至多有2^i-1 个结点 (i >= 1)。

2.深度为 k 的二叉树至多有 2^k - 1 个结点 (k > 1)。

3.对任何一棵二叉树 T ，如果其终端结点数为 n₀，度为 2 的结点数为 n₂，则n₀ = n₂ + 1。

4.具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 [log₂n] + 1 ([x] 表示不大于 x 的最大整数)。

5.如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树 (其深度为 |log₂n| + 1) 的结点按层序编号(从第 1 层到第[log₂n]+1层，每层从左到右)，对任一结点 i (1<=i<=n)有:
（1）如果 i = 1， 则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i > 1，则其双亲是结点 [ i / 2」。
（2）如果 2i > n，则结点 i 无左孩子(结点 i 为叶子结点)；否则其左孩子是结点
2i。
（3）如果 2i + 1 > n，则结点无右孩子；否则其右孩子是结点 2i + 1。

来源：CSDN

作者：violet_pang

链接：https://blog.csdn.net/weixin_45897672/article/details/104175126