叶子结点

　　同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。 　　计算机科学中，算法的 时间复杂度 是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号（Order）表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷时的情况。 定义 　　在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。 算法复杂度 　　算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用: 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量;而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。(算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间(即寄存器)资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度)。 时间复杂度 　　1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)，因此，算法的时间复杂度记做:T(n)=O(f(n)) 分析:随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比，所以 f(n) 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。 　　2.

树结点数 0.概念 树（tree）指每个结点只有一个前件（也称父结点）、有多个后件（也称子结点）的非线性结构。没有父结点的结点称为根结点，每棵树只能有一个根结点；没有子结点的结点称为叶子结点。树结构中，一个结点拥有子结点的个数称为该结点的度；所有结点中最大的度称为这棵树的度。 1.结点数计算 假设树度为 x 的结点数为 n x ，则一棵树可以表示为： x 0 1 2 3 ... nₓ n₀ n₁ n₂ n₃ ... 根据树的形成过程，每增加一个度为 x 的结点，总结点数将增加 x 个。所以： \[Sum = \sum n_i = 1 + \sum i \times n_i \] 其中 Sum 表示树的总节点数。 同理，每增加一个度为 x 的结点，叶子节点数将增加 x-1 个。所以： \[Sum' = n_0 = 1 + \sum n_i(i-1) = 1 + \sum_{i=2} n_i(i-1) \] 其中 Sum' 表示树的叶子结点数。 2.二叉树特例 二叉树度小于3的树。即每个结点最多有两个子结点。有如下性质： 第k层上最多有 2 k-1 个结点。 k层二叉树最多有 2 k -1 个结点。 叶子结点总比度为2的结点多一个。 \[Sum' = 1 + \sum_{i=2} n_i(i-1) = 1 + n_2 \] 具有n个结点的二叉数深度最少为 [log 2 (n+1)]+1

图文来源：https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html 堆排序是利用 堆 这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种 选择排序， 它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。堆排序是利用 堆 这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种 选择排序， 它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。 堆 　 　 堆是具有以下性质的 完全二叉树 ：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图： 同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子 该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是： 大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2] 小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2] 接下来，我们来看看堆排序的基本思想及基本步骤： 堆排序基本思想及步骤 堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n

数据结构是 10 年前大学里学的一门课程，也是我北漂唯一携带的一本书。幸运的是，书还没有被孩子给撕碎。 为了让大家都能够搞懂「树」这个苦涩而硬核的知识，今天就重拾记忆，分享一下研发人员心中那些放不下的「树」。 不过，一定要冲好咖啡、沏壶好茶，心平气和去看文。 01. 「树」现实与虚拟的抽象 在「中华姓氏树」中寻找一片属于你的叶子，探寻一下家族的来源。 在脑海里尝试画一下「家谱树」。 看完现实中的树，那来看一看计算机的文件系统组织形式。 无论是现实的姓氏树、家谱树，还是计算机的文件系统，表现形式虽然不同，但是本质上却都是树。 那到底什么是树呢？ 树是由 n（n≥0）个结点组成的有限集合。 当 n = 0 时，称为空树； 当 n > 0 时，有一个特殊的节点称为根结点（root），它没有前驱结点；其它结点分为 m 棵互不相交的子树。 如图示意，（a）为空树；（b）为 1 个结点的树；（c）为 n 个结点的树。 知道了什么是树，上面「家谱树」以及「文件系统」用到的树表示法，有没有学名呢？稍微科普一下。 图示法：是树的直观表示法，主要用于描述树的逻辑结构，如上面提到的家谱树。 横向凹入表示法：是用逐层缩进方法表示结点之间的层次关系，主要用于树的屏幕显示和打印输出，如上面提到的文件系统。 知道了什么树以及树的部分表示法，但是猿有猿声，鸟有鸟语，树也有术语。 02.「树」有术语 节点 or

tarjian算法 LCA： LCA（Least Common Ancestor），顾名思义，是指在一棵树中，距离两个点最近的两者的公共节点。也就是说，在两个点通往根的道路上，肯定会有公共的节点，我们就是要求找到公共的节点中，深度尽量深的点。还可以表示成另一种说法，就是如果把树看成是一个图，这找到这两个点中的最短距离。 LCA算法有在线算法也有离线算法，所谓的在线算法就是实时性的，而离线算法则是要求一次性读入所有的请求，然后在统一得处理。而在处理的过程中不一定是按照请求的输入顺序来处理的。说不定后输入的请求在算法的执行过程中是被先处理的。 tarjan算法。这个算法是基于并查集和DFS的。离线算法。 现在我们来观察正在处理与x结点关联的询问时并查集的情况。由于一个结点处理完毕后，它就被归到其父结点所在的集合，所以在已经处理过的结点中（包括 x本身），x结点本身构成了与x的LCA是x的集合，x结点的父结点及以x的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[x]的集合，x结点的父结点的父结点及以x的父结点的所有已处理的兄弟结点为根的子树构成了与x的LCA是father[father[x]]的集合……（上面这几句话如果看着别扭，就分析一下句子成分，也可参照右面的图）假设有一个询问(x,y)（y是已处理的结点），在并查集中查到y所属集合的根是z，那么z

如果把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，则定义距离为：两个节点之间边的个数 求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离 相距最远的两个节点一定是叶子节点，可以分为两种情况： 1.若最远距离的路径经过根ROOT，则两个最远的节点分别为两个不同子树的叶子结点，如图1 图1 2.若路径不经过ROOT，那么这两个节点一定属于根的K个子树之一，并且它们也是该子树中相距最远的两个顶点，如图2 图2 总结： 最大距离为某个结点左子树的高度加上右子树高度 /********************************************************************************/ /* 计算二叉树中节点的最大距离，即求一棵二叉树中相距最远的两个节点之间的距离 */ /********************************************************************************/ #include<iostream> #include<malloc.h> #include<stdlib.h> #define ERROR 0 using namespace std; struct BiTree//标识一棵树 { BiTree *lchild; BiTree *rchild; int m_nValue

二叉树的一些基本知识： 二叉树与树有许多相似之处，但二叉树不是树的特殊情形。 定义 在计算机科学中，二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。 二 叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2^{i-1}个结点； 深度为k 的二叉树至多有2^k-1个结点； 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 一棵深度为k，且有2^k-1个节点称之为满二叉树；深度为k，有n个节点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中，序号为1至n的节点对应时，称之为完全二叉树。 相关术语 树的结点：包含一个数据元素及若干指向子树的分支； 孩子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子； 双亲结点：B 结点是A 结点的孩子，则A结点是B 结点的双亲； 兄弟结点：同一双亲的孩子结点； 堂兄结点：同一层上结点； 祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙 结点层：根结点的层定义为1；根的孩子为第二层结点，依此类推； 树的深度：树中最大的结点层 结点的度：结点子树的个数 树的度： 树中最大的结点度。

二叉树简单说就是有两个子树的树 1.种类及概念: 　　二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。 　　完全二叉树：除最后一层外，若其余层都是满的，并且最后一层或者是满的，或者是在右边缺少连续若干节点。 　　满二叉树：每一层上的节点数都是最大节点数，深度为k，且有2^k-1个节点。 　　平衡二叉树：又被称为AVL树（区别于AVL算法），它是一棵二叉排序树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。 　　森林：不考虑连通性，允许图中有多个连通分量的结构。 　　　　 　　　　 (1) 空二叉树：图 (a) 　　　　 (2) 只有一个根结点的二叉树：图 (b) 　　　　 (3) 只有左子树：图 (c) 　　　　 (4) 只有右子树：图 (d) 　　　　 (5) 完全二叉树：图 (e) 2.定义及性质： 　　二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。 　　二叉树是一个连通的无环图，并且每一个顶点的度不大于3。有根二叉树还要满足根结点的度不大于2。有了根结点之后，每个顶点定义了唯一的父结点，和最多2个子结点。 　　二叉树不是树的一种特殊情形，树和二叉树有两个主要差别： 　　　　1. 树中结点的最大度数没有限制，而二叉树结点的最大度数为 2 ； 　　　　2. 树的结点无左、右之分，而二叉树的结点有左、右之分。 3.其他术语： 子树

　　二叉树T：一个有穷的结点集合。 这个集合可以为空 若不为空，则它是由根结点和称为其左子树TL和右子树TR的 两个不相交的二叉树组成。 一、二叉树的几个重要性质 　　1、 设二叉树的 根结点为第一层 ， 二叉树第i层的最大结点数是 2 i-1 ，i>=1； 设二叉树的 根结点深度为1 ， 深度为k的二叉树，最大结点总数为 2 k -1 ，k>=1 （关于树的层、深度，上面是浙大数据结构的说法，也有定义根结点的层数为0，深度为0，从上向下增长；叶结点高度为0，从下向上增长。） 　　2、对于任何非空二叉树，叶子结点的个数，等于度为2的非叶子结点的个数+1，即 n0 = n2 + 1 　　3、满二叉树（full binary trees），在树中，每个中间结点有且仅有两个孩子结点。 　　4、完全二叉树（complete binary trees），具有n个结点的完全二叉树的深度为 log 2 n + 1 　　若对n个结点的完全二叉树从上到下且从左到右进行1至n编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点： 　　　　1、）若 i = 1 ，则该结点是二叉树的根，无双亲结点，否则 i/2 的结点为其双亲结点； 　　　　2、）若 2i<=n ，则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点，否则，该结点无左孩子结点； 　　　　3、）若 2i+1<=n ，则，编号为 2i+1 的结点为其右孩子结点

二叉树：每个结点至多有两个子树 满二叉树：每一层的结点个数都是最大结点数 完全二叉树：叶子节点在最后两层；对于任一结点，左子树的深度比右子树深度大1或者相等 性质： 二叉树：第i层，至多有2^(i-1)个结点 二叉树：深度为k的二叉树，至多有(2^k)-1个结点 满二叉树：深度为k的满二叉树的结点个数为(2^k)-1 二叉树：任何一个二叉树，度为0的结点的个数n0，度为1的结点的个数n1，度为2的结点的个数的关系： n0 = n2+1，总的结点个数n 　　原因：n0+n1+n2 = n 除了根节点之外，其它几点都有一个分支进入分支个数n-1，分支都是由度为1或者度为2的结点发出的 n1+2*n2 = n-1 根据这两个公式得到n0=n2+1 完全二叉树：任何一个具有n个结点的完全二叉树的深度为 log以2为底n向下取整 + 1 完全二叉树：任何一个完全二叉树按照层次为结点编号 　　i=1，该结点是完全二叉树的根，无双亲 　　i>1，该节点不是根，该结点的双亲的编号为i/2向下取整 　　一个结点的编号是i，如果2*i大于n，表明该结点没有左孩子，否则，左孩子编号为2*i 　　一个结点的编号是i，如果2*i+1大于n，表明该结点没有右孩子，否则，右孩子编号为2*i 存储 （1）顺序存储 用一组地址连续的存储单元将二叉树从上到下从左到右按顺序存储，存储成对应的完全二叉树的形式