数据结构与算法（树）

首语

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树

树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

结点的度

结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的节点称为叶子结点或终端结点，度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各节点的度的最大值。

层次与深度

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第一层，则其子树的根就在l+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然图中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I、J也是。树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度，当前树的深度为4。

有序与无序树

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林

森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。

树的存储结构

简单的顺序存储不能满足树的实现。
结合顺序存储和链式存储来实现。

三种表示方法

1、双亲表示法

在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

2、孩子表示法

方案一
方案二
最终方案
把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空，然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放在一个一维数组中。

3、孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。

二叉树

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为二叉树），或者由一个根节点和两颗互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

在这里插入图片描述

斜树（特殊二叉树）

所有的结点都只有左子树的叫做左斜树。所有结点都是右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

满二叉树

在一颗二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树

对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树找那个编号为i的结点在二叉树中位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点（i≥1）。
性质2：深度为k的二叉树至多有2的k-1次方个结点（k≥1）。
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点为n2，则n0=n2+1。
证明： 设n为总结点数，n1为度为1的结点树，n2位度为2 的结点树，n0为终端结点树。
n=n0+n1+n2,而分支线总数=n-1=n1+2n2。
推出n0+n1+n2-1=n1+2n2。即n0=n2+1。
性质4：具有n个结点的完全二叉树深度[㏒2ⁿ]+1（[x]表示不大于x的最大整数）。
性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[㏒2ⁿ]+1）的结点按层序编号（从第1层到第
[㏒2ⁿ]+1层，每层从左到右），对任意一个结点i（1≤i≤n）有：
1、如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则其双亲是结点[i/2].
2、如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
3、如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。

顺序存储

完全二叉树
一般二叉树

二叉链表

lchild—>data—>rchild

二叉树的遍历

前序遍历（根左右）
规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问跟结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。
中序遍历（左根右）
规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点)，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。
后序遍历（左右根）
规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。
层序遍历
规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第-一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

代码实现

构建二叉树

private TreeNode  root = null;
	
	public BinaryTree(){
		root = new TreeNode(1, "A");
	}
/**
	 * 构建二叉树
	 *         A
	 *     B       C
	 * D      E        F
	 */
	public void createBinaryTree(){
		TreeNode nodeB = new TreeNode(2, "B");
		TreeNode nodeC = new TreeNode(3, "C");
		TreeNode nodeD = new TreeNode(4, "D");
		TreeNode nodeE = new TreeNode(5, "E");
		TreeNode nodeF = new TreeNode(6, "F");
		root.leftChild = nodeB;
		root.rightChild = nodeC;
		nodeB.leftChild = nodeD;
		nodeB.rightChild = nodeE;
		nodeC.rightChild = nodeF;
	}
	public class TreeNode{
		private int index;
		private String data;
		private TreeNode leftChild;
		private TreeNode rightChild;
		
		public TreeNode(int index,String data){
			this.index = index;
			this.data = data;
			this.leftChild = null;
			this.rightChild = null;
		}
	}

求二叉树的高度

/**
	 * 求二叉树的高度
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public int getHeight(){
		return getHeight(root);
	}
	
	private int getHeight(TreeNode node) {
		if(node == null){
			return 0;
		}else{
			int i = getHeight(node.leftChild);
			int j = getHeight(node.rightChild);
			return (i<j)?j+1:i+1;
		}
	}

获取二叉树的结点树

/**
	 * 获取二叉树的结点数
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public int getSize(){
		return getSize(root);
	}
	
	
	private int getSize(TreeNode node) {
		if(node == null){
			return 0;
		}else{
			return 1+getSize(node.leftChild)+getSize(node.rightChild);
		}
	}

前序遍历（迭代与非迭代）

/**
	 * 前序遍历――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void preOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			System.out.println("preOrder data:"+node.getData());
			preOrder(node.leftChild);
			preOrder(node.rightChild);
		}
	}
	
	/**
	 * 前序遍历――非迭代
	 */
	
	public void nonRecOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}
		Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
		stack.push(node);
		while(!stack.isEmpty()){
			//出栈和进栈
			TreeNode n = stack.pop();//弹出根结点
			//压入子结点
			System.out.println("nonRecOrder data"+n.getData());
			if(n.rightChild!=null){
				stack.push(n.rightChild);
				
			}
			if(n.leftChild!=null){
				stack.push(n.leftChild);
			}
		}
	}

中序遍历

/**
	 * 中序遍历――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void midOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			midOrder(node.leftChild);
			System.out.println("midOrder data:"+node.getData());
			midOrder(node.rightChild);
		}
	}

后序遍历

/**
	 * 后序遍历――迭代
	 * @author yhj
	 *
	 */
	public void postOrder(TreeNode node){
		if(node == null){
			return;
		}else{
			postOrder(node.leftChild);
			postOrder(node.rightChild);
			System.out.println("postOrder data:"+node.getData());
		}
	}

来源：CSDN

作者：Stephen-hj

链接：https://blog.csdn.net/yang_study_first/article/details/104160058

标签

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叶子结点

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