二分法进阶

在算法竞赛题目中，有两种题型：整数二分、 实数二分。

1. 整数域上的二分， 注意终止边界、左右区间的开闭情况， 避免漏掉答案或者死循环。
2. 实数域上的二分， 需要注意精度问题。

之前迷惑了好久的边界问题，在这里总结一下：

整数二分：

1. $[left,right]$：分割 $[left,mid-1]$、$mid$、$[mid+1,right]$，循环条件 $left<=right$
2. $[left,right)$：分割 $[left,mid)$、$mid$、$[mid+1,right)$，循环条件 $left<right$

实数二分：

1. $[left,right)$：分割$[left,mid)$、$[mid,right)$

【整数二分】

$[left,right]$ 模板：

bool check(int mid)
{
	if(根据题意判断)	return true; 
	else	return false;
}

int left, right, ans;
while(left <= right)
{
	int mid = left+(right-left)/2;	//二分
	if(check(mid))	//根据题意检查条件，如果成立
	{
		ans = mid;		//记录答案
		left = mid + 1;		//移动left(或right)
	}
	else
	{
		right = mid - 1;	//移动right(或left)	
	}
}

$[left,right)$ 模板：

bool check(int mid)
{
	if(根据题意判断)	return true; 
	else	return false;
}

int left, right, ans;
while(left < right)
{
	int mid = left+(right-left)/2;	//二分
	if(check(mid))	//根据题意检查条件，如果成立
	{
		ans = mid;		//记录答案
		left = mid + 1;		//移动left(或right)
	}
	else
	{
		right = mid;	//移动right(或left)	
	}
}

所以， 二分法的难点在于如何建模和check()条件，其中可能会套用其他算法或者数据结
构。

【实数二分】

实数域上的二分比整数二分简单。

模板：

//精度。若保留k位小数，eps一般取10^-(k+2)
const double eps = 1e-7;	//如果下面用for，可以不要eps

bool check(double mid)
{
	if(根据题意判断)	return true;
	else	return false;
}

double BinSearch(double left, double right)
{
	//for(int i = 0; i < 100; i++)
	while(right - left > eps)
	{
		double mid = left+(right-left)/2;
		if(check(mid))	left = mid; 	//根据题意判定，然后继续二分
		else	right = mid;
	}
	return left;	//right也对 
}

其中， 循环用 $2$ 种方法都可以：

如果用 $for$ 循环， 由于循环内用了二分， 执行 $100$ 次， 相当于实现了 $1/2^{100}$ 的精度， 一般比 $eps$ 更精确。

$for$ 循环的 $100$ 次， 比 $while$ 的循环次数要多。 如果时间要求不是太苛刻， 用 $for$ 循环更
简便。

来源：CSDN

作者：菜是原罪QAQ

链接：https://blog.csdn.net/qq_42815188/article/details/104069861