SVD平面拟合原理

已知三维空间中的一堆点，拟合平面平面的方程为 $ax + by + cz = d$，为了容易得到平面到原点距离，需要使$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$。
首先计算这些点$(x_{i},y_{i},z_{i})$的平均坐标$(\bar x,\bar y,\bar z)$,显然，有$a\bar x + b\bar y + c\bar z = d$
与平面方程相减，并写为矩阵形式，得到
$\begin{bmatrix} {{x_1} - \bar x} & {{y_1} - \bar y} & {{z_1} - \bar z} \\ {{x_2} - \bar x} & {{y_2} - \bar y} & {{z_2} - \bar z} \\ {{x_3} - \bar x} & {{y_3} - \bar y} & {{z_3} - \bar z} \\ {} & {...} & {} \\ {{x_n} - \bar x} & {{y_n} - \bar y} & {{z_n} - \bar z} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} =0$
另左边矩阵为$A$,右边矩阵为$X$,则拟合的目标函数为 $\min ||AX||$，并具有约束$|X|| = 1$。
对$A$做奇异值分解
$A = UD{V^T}$
其中，$D$是对角矩阵，$U$和$V$均为酉矩阵。
所以$||AX|| = ||UD{V^T}X|| = ||D{V^T}X||$（酉矩阵性质），其中$V^TX$为列矩阵，并且$|{V^T}X|| = ||X|| = 1$。
因为$D$的对角元素为奇异值，最后一个对角元素为最小奇异值，当且仅当
${V^T}X = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
时，$||AX||$ 取到最小值，此时
$X =\begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix}= {V}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
而$(a,b,c)$即为平面$ax + by + cz = d$的法向量。
该方法的代码实现可以参考笔者以前的博客
https://blog.csdn.net/iamqianrenzhan/article/details/103463932。

来源：CSDN

作者：仟人斩

链接：https://blog.csdn.net/iamqianrenzhan/article/details/103463130