数学总结

总结

• 所有技巧或结论无法使用的题，应从源头（定义法）考虑
• 1+变原则：把所有变+1化为1+变
• 所有幂指函数→指数函数再做，以免错误
• 求极限取最大
• 看好并写出定义域再做题
• 注意对数ln中若有分数，则试着拆项。有的比较隐蔽不易发现，如1+1/n
• 求积分：换元（根号、arc）、拆项、凑导常、配方（分母为根号，或者二次函数，且不可拆项）、倒代换1/(x...)
• 极限\(0 \over 0\)、\(∞ \over ∞\)、\(0·∞\)、\(∞-∞\)、\(1^∞\)、\(∞^0\)、\(0^0\)
• 将将二元双平方函数(如椭圆\(x^2/2+y^2=1\))的切点(√2cosθ,sinθ)设为参数方程形式，可避免平方与根号
• 等比求和公式\(Sn={{a_1(1-q^n} \over {1-q}}={{a_1-a_nq} \over {1-q}}\)
• A是B的充分（必要）条件：A→B（B→A）
• 根号运算（从根号中提出）：要带||
• 距离、面积：要带||
• 可微必连续，连续必可积
• 注意：极坐标不能求导，所以要把极坐标→参数方程
  r=r(θ)→x=r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ
• 而参数方程不能二重积分，所以要把参数方程→直角坐标
  设y=y(x)，则\(∫dx∫^{y(x)}...dy\)

函数、极限、连续

函数

• 积导，变奇偶：函数的积分（导数），奇偶性要改变

  注意：奇函数x如果存在，x=0时f(x)=0；
  而偶函数任意。

• 奇+奇=奇，偶+偶=偶；奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇

  极限

• 需分左右极限的情况：

  • 分段函数在分界点处的极限，分界点两侧函数表达式不同（包括绝对值）

    注意：分界点一律用定义做，以免出错。

  • \(e^∞\)型极限
  • arctan∞型极限
• 夹逼准则
• 单调有界准则：单调有界数列必有极限，即单调增（减）有上（下）界的数列必有极限。
  • 证有界（或收敛）

  • 证相应的单调

    如 有上界肯定证明单调递增。。。

• 有理运算法：
  • 若limf(x)存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)±g(x)]一定不存在，lim[f(x)×(÷)g(x)]不一定存在；
  • 若limf(x)和limg(x)都不存在，则lim[f(x)±(×)(÷)g(x)]都不一定存在。
• 极限运算拆项：加减乘除，拆项后每一个子项极限均存在才可以拆项，否则不行。
• 乘除中，极限非零的因子极限可先求出来

• 二阶导在x0存在→一阶导在x0去心领域内有定义，连续可导

  连续

• 复合函数连续性：只有一个确定，连续 连续 → 连续（其余均不确定）
• 设f(x)在x=x0间断，g(x)连续，则f(x)±g(x)间断

• 设f(x)=g(x)h(x)，g(x)连续，h(x)不连续，g(x0)=0↔f(x)连续

一元函数微分学

• 在分段函数的分界点处，一般用定义求导
• 求点的导数用定义（好处：不用判断该点的不可导函数）

• 左右导数存在→连续
  且相等→可导

  注意左右导数与导数的左右极限相区分，左右导数是同一个点的导数，而导数的左右极限不一定是同一个点。

• 比较大小：相除、相减、求导
• 注意：极坐标不能求导，所以要把极坐标→参数方程
  r=r(θ)→x=r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ
• 不可导点，可以同时是极值点与拐点；
  但对于可导函数，不能同时是极值点与拐点。
• 若只能判断某一特殊点f'=0，（不知道是否有其他极值点），则判断f(x)单调性
• 唯一极值点必为最值点，求解极值点唯一才能为最值点。
• 特殊点（极值点，拐点）：导数=0或f'不存在不可导。
• 注意：求切线，也要先看看垂直时候（导数不存在），是否为切线。
• 渐近线：
  • 铅直渐近线：（左右就一条）（取无定义点x0，x→x0-或x→x0+=∞，满足其一即可）
  • 水平渐近线：（左右可能不同）（取x→+∞和x→-∞=b，需分左右极限时需要取两个，否则只用取一个∞即可）
  • 斜渐近线：（左右可能不同）（取x→+∞和x→-∞）
• 有界和无界：
  • 在有限区间上，以f(x)或f'(x)有界为条件，只有下述命题正确：“设f'(x)在(a,b)上有界，则f(x)在(a,b)上有界”
  • 在有限区间上，以f(x)或f'(x)无界为条件，只有下述命题正确：“设f(x)在(a,b)上无界，则f'(x)在(a,b)必无界”
  • 在无穷区间上，以f(x)或f'(x)有（无）界为条件，推不出f'(x)或f(x)关于有界、无界的结论。

一元函数积分学

• +-可拆开算，×÷不行（得拆项）

  与极限区分开

• 不规则→规则与不规则的和差
  另一部分→整体-已知部分
• 积分+-化同域（限）
• 若f(x)有间断点且原函数存在，则间断点一定为振荡间断点。
• 所谓图形的面积→||
  定积分的值→没有||
• 定积分的不等式性质：可用于夹逼准则，缩放上下限

• 积分中值定理：可用于去掉积分（求积分极限可用）

  去掉积分方法：①求导；②积分中值定理

• 定积分极限→积分中值定理、夹逼定理
• 变上限积分：
  • 变上限积分函数不一定可导，但一定连续f(x)=|x|
  • 但f(x)连续，其变上限积分可导
  • 若f(x)仅是可积，则只能保证变上限积分函数连续，不能保证可导
• 原函数一定连续可导，导函数不一定连续
• 求积分：换元（根号、arc）、拆项、凑导常、配方（分母为根号，或者二次函数，且不可拆项）、倒代换1/(x...)
• √二次多项式，可用几何定义，如 圆
• 华里士公式：0~π/2
• 反常积分，函数在一点的值无穷，但面积可求
• 重要反常积分：\({∫_0^+∞e^{-x^2}dx}=√x/2\)
• 定积分的应用：
  • 极坐标：
    ①取微元
    ②用平面直角坐标的公式∫...=dx
    代入x=rcosθ，y=rsinθ
    化为∫...dθ
  • 参数方程：
    平面直角坐标代入方程t（记得换限）

多元函数微积分

• 可微性：
  • 连续一阶偏导数→可微
  • lim（全增量-全微分）/ρ=0
• 复合函数求导：写出变量树形图
• 极值：\(f'_x=0, f'_y=0\)
  • \(AC-B^2>0\)时，取极值
    • A>0时，极小
    • A<0时，极大
  • \(AC-B^2<0\)时，无极值
  • \(AC-B^2=0\)时，不确定
• 条件极值（最值）：
  • 在D内：求可能取得的极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值
  • 在D的边界：最大、最小值（拉格朗日乘数法只能用于边界）

常微分方程

• 一阶方程：
  • 线性
  • 齐次
  • 可分离
  • 换位思考（x，y的地位互换）
• 高阶方程：
  • 可降阶
  • 常系数线性齐次
  • 常系数线性非齐次

行列式

• 行列式是一个常数，（求值 行列变换可混合用）
• 三角法
• 独一法

矩阵

• 求秩（值） 混合变换
• 求逆 行（列）变换 混合会改变结构

• 矩阵等价：有限次初等变换。

  矩阵等价↔秩相等

向量

• 向量组等价：两个向量组可以相互线性表出，则这两个向量组等价

  充要条件：向量组等价↔r(I)=r(II)=r(I,II)
  向量组等价→秩相同

  线性方程组

  Ax=0

• r(A)+线性无关解向量个数=n

• 基础解系n-r(A)，只有齐次有
  非齐次只有特解概念

• 方程组Ax=0与Bx=0同解↔r(A)=r(B)=r[上A下B]

• 方程组Ax=0与Bx=0公共解是满足方程组[上A下B]x=0的解

特征值、向量、相似矩阵

• n个互不相同的特征值→n个线性无关特征向量↔A可相似对角化

  (λE-A)x=0 r(λE-A)+线性无关解向量个数=n
  λ为m重根，看线性无关解向量个数是否为m，若为m，则可相似对角化。

• 注意：有特征值不代表可以相似对角化，m重特征值，一定要m个线性无关解向量，才能相似对角化。

来源：https://www.cnblogs.com/blknemo/p/11779253.html