函数极限

1. 函数定义域的求法 （1）分式的分母不能为0 （2）偶次方根的底数大于等于0 （3）对数的真数大于0 （4）反正弦函数和反余弦函数的特殊规定 2.判断两函数是否相等的方法 （1）定义域相同 （2）对应法则相同：函数的图像必须相同 3.极限的方法 （1）直接打入 （2）法则 （3）无穷小和无穷大的性质 （4）三种特例 （5）两个重要极限 （6）等价无穷小的替换 三个特例 来源： oschina 链接： https://my.oschina.net/u/4454049/blog/3195241

多元函数是一元函数的推广，对于多元函数我们将着重讨论二元函数. 定义域的变化：数轴上的点集 平面上的点集 点与点集的关系：内点，外点，界点；聚点，孤立点，外点. 上的完备性定理 平面点列收敛的定义 设 为平面点列， 为一固定点.若对任给的正数 ，存在正整数N，使得当n>N时，有 ,则称点列{Pn}收敛于点P哦，记作 或 柯西准则 平面点列{Pn}收敛的充要条件是：任给正数 ，存在正整数N，使得当n>N时，对一切正整数p，都有 闭域套定理 设{Dn}是 中的闭域列，它满足： 则存在唯一的点 推论 对上述闭域套{Dn}，任给 ，存在 ，当n>N时，有 聚点定理 设 为有界无限点集，则E在 中至少有一个聚点. 致密性定理 有界无限点列 必存在收敛子列 有界覆盖定理 设 为一有界闭域， 为一开域族，它覆盖了D（即 ）则在 中必存在有限个开域 它们同样覆盖了D（即 ）. 二元函数的极限 二元函数极限的定义 设f为定义在 上的二元函数，Po为D的一个聚点，A是一个确定的实数.若对任给正数 那个村，总存在某正数 ，使得当 时，都有 则称f在D上当 时以A为极限，记作 在对于 不致产生误解时，也可简单地写作 当 分别用坐标 表示时，也可写作 的充要条件是：对于D的任一子集E，只要Po是E的聚点，就有 设 ,Po是 的聚点，若 不存在，则 也不存在. 设 ,Po是它们的聚点，若存在极限 但 则

limit(F,x,a)计算当x→a时符号表达式F=F(x)的极限值; limit(F,a)用函数findsym(F)确定F中的自变量x，再计算当x→a时F=F(x)的极限值; limit(F)用函数findsym(F)确定F中的自变量x，再计算当x→0时F=F(x)的极限值; limit(F,x,a,'right')计算时F=F(x)的左极限; limit(F,x,a,'left')计算时F=F(x)的右极限; 举个例子： 比如要求当x趋向于5 时，表达式(2*x-10)/(x^3-125)的极限，matlab的程序如下： syms x; limit((2*x-10)/(x^3-125),5); ans=2/75 来源： https://www.cnblogs.com/WJ-0808/p/5753679.html

七种未定式的计算 第一步，化简 提出极限不为0的因式 等价无穷小代换 恒等变形（提公因式，拆项，合并，分子分母同除变量的最高次幂，换元） 第二步，判断类型 第三步，选择相应的方法进行计算 运算规则 夹逼准则 洛必达法则 泰勒展开 归结原则 正三角形，倒代换，幂次数下面大 指数函数 趋向 大于幂函数 有理化，平方差公式推广 遇到根号，若x->-∞，做个负代换 同样的对应法则f出现不同自变量，需要代换 0 . ∞，简单因式放底下 ∞-∞，有分母则通分，没有分母，创造分母再通分 必考常见导数 1 ∞ 型，去对数后，对ln(1 + u)，做等价无穷小替换 等式脱帽法 已知极限，反求参数 来源： https://www.cnblogs.com/YC-L/p/12119078.html

多元函数求极限： 原则： 就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用 。 ========= 例1 使用了无穷小替换 ========= 例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入 ========= 例3 同样也可以分子分母有理化 ========= 例4 同样也可以使用两个重要极限 ========= 例5 同样也能够使用夹逼准则 讨论函数 在（0,0）处的连续性 解： 先求极限 因为 所以由夹逼准则知道 因此连续 ========= 来源： https://www.cnblogs.com/Hqx-curiosity/p/12249961.html

激活函数有哪些 sigmoid函数，relu函数，tanh函数 怎么选取激活函数 函数的极限 当自变量趋于有限值时的极限 自变量趋于无穷大时函数的极限 tanh(x)与sigmoid(x)的关系 tanh(x)=2*sigmoid(2x)-1 来源： CSDN 作者： 薛定谔的猫1992 链接： https://blog.csdn.net/weixin_42456166/article/details/103467283

一、函数 1、函数的定义 函数表示量与量之间的关系如：A=πr2A=πr2。更普遍的是用y=f(x)y=f(x)表示，其中x表示自变量，y表示因变量。函数在x0处取得的函数值y0=y∣x=x0=f(x0)y0=y∣x=x0=f(x0)。值得一提的是，符号只是一种表示，也可以用其他符号来表示，比如：y=g(x)y=g(x)、y=φ(x)y=φ(x)、y=ψ(x)y=ψ(x)等。 2、常用函数形式 分段函数：f(x)={x−−√,−x,x⩾0x<0f(x)={x,x⩾0−x,x<0 反函数：h=12gt2→h=h(t)→t=2hg−−√→t=t(h)h=12gt2→h=h(t)→t=2hg→t=t(h) 显函数：y=x2+1y=x2+1 隐函数：F(x,y)=0F(x,y)=0，3x+y−4=03x+y−4=0 3、函数特点 奇函数：相对于原点对称的函数f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x)，如f(x)=x3f(x)=x3，代入计算可得f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)。 偶函数：相当于Y轴对称的函数f(−x)=f(x)f(−x)=f(x)，如f(x)=x2f(x)=x2，代入计算可得f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(−x)=(−x)2=x2=f(x)。 周期函数：经过一个周期T的变化函数值仍相等f(x+T)=f(x)f

为了加深在人工智能、深度学习领域的学习，接下来会推出数学基础系列博客，加深自己在这领域的基础知识。 一、函数 1、函数的定义 函数表示量与量之间的关系如：$A=\pi r^{2}$。更普遍的是用$y=f(x)$表示，其中x表示自变量，y表示因变量。函数在x 0 处取得的函数值$y_{0}=y\mid _{x=x_{0}}=f(x_{0})$。值得一提的是，符号只是一种表示，也可以用其他符号来表示，比如：$y=g(x)$、$y=\varphi (x)$、$y=\psi (x)$等。 2、常用函数形式 分段函数：$f(x)=\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}, &x\geqslant 0 \\ -x, & x< 0\end{matrix}\right.$ 反函数：$h=\frac{1}{2}gt^{2}\rightarrow h=h(t) \rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\rightarrow t=t(h)$ 显函数：$y=x^{2}+1$ 隐函数：$F(x,y)=0$，$3x+y-4=0$ 3、函数特点 奇函数：相对于原点对称的函数$f(-x)=-f(x)$，如$f(x)=x^{3}$，代入计算可得$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$。 偶函数：相当于Y轴对称的函数$f(-x)=f(x)$，如$f(x)

第一节 映射与函数 映射 映射：两个非空集合X、Y，如果存在法则f使得X中的每个元素x在Y中都有唯一一个确定的元素y，则称法则f是从X到Y的映射 像：y称为x的像 原像：x称为y的原像 定义域：X集合称为定义域 值域：Y集合称为值域 构成一个映射必须具备的三个要素：定义域、值域、法则f 满射：Y中的任意一个元素y都是X中的某个元素的像 单射：对于X中任意两个元素x1不等于x2，则有f(x1)不等于f(x2) 一一映射：既是单射也是满射 逆映射：首先映射f必须是单映射，y=f(x)必定存在x=g(y)，法则g是法则f的逆映射 复合映射：多个映射复合，例如y=f(g(x))，g(x)的值域必须包含于f(x)的定义域 函数 函数：设数集D包含与R，则称映射f：D->R是定义在D上的函数，记为y=f(x)，x是自变量，y是因变量，D是定义域，y的取值范围是值域 函数可分为连续函数与分段函数 函数的几种特性： 函数的有界性：在定义域D中如果任意x都使得f(x)<=K,则函数有上界，K是函数的一个上界，如果任意x使得f(x) <= N，则函数有下届，N是函数的一个下届 函数的单调性：在定义域的一个区间中，单调递增或单调递减 函数的奇偶性：f(-x) = f(x)为偶函数，f(-x) = -f(x) 为奇函数 函数的周期性：在函数定义域D中，如果存在 l 使得 f(x+l) = f(x)

渐进线 * 铅直 1. 确定无定义点、不可导点 2. 对无定义点、不可导点进行取极限 * 水平 * 对趋近正无穷、负无穷取极限 * 斜渐进线 1. y/x对趋近正无穷、负无穷取极限，求k 2. y-kx对趋近正无穷、负无穷取极限，求b 函数图像、导函数图像 * 函数斜率 = 导函数 * 函数凹凸性 = 导函数导数 常用的泰勒展开式 奇偶函数判断 ### 定义法：推导f(-x)与f(x)的关系 * 对于定积分 1. -x替换x 2. -u替换t ### 组合法：f(x) = g(x)h(x)、f(x) = h(g(x)) 来源： https://www.cnblogs.com/vergilwu/p/11802953.html