最大公约数

首先重点无论式辗转相除法还是更相减损术，最重要的原理是：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数 你可以这么理解， C=（A,B) ,C为A,B的最大公约数；即A,B都有公因数C,那么A-B也有公因数C, A%C=0; B%C=0; A%C-B%C=(A-B)%C=0 假设有两个数x和y，存在一个最大公约数z=(x,y)，即x和y都有公因数z， 那么x一定能被z整除，y也一定能被z整除，所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。（m和n可取任意整数） 对于辗转相除法来说，思路就是：若x>y，设x/y=n余c，则x能表示成x=ny+c的形式，将ny移到左边就是x-ny=c，由于一般形式的mx±ny能被z整除，所以等号左边的x-ny（作为mx±ny的一个特例）就能被z整除，即x除y的余数c也能被z整除。一直下操作， 最后就是更相减损术是拿来相减，而辗转相除是取余；当两个数很接近的时候前者算法效率高，两个数差距很大的时候后者效率高！ 来源： https://www.cnblogs.com/Left-Behind/p/7554000.html

更相减损法和辗转相除法（GCD）求最小公倍数和最大公约数 标签（空格分隔）： 算法 算法竞赛 这两种算法平时经常听到，听起来也很装逼，但是我老是忘了他们的原理，今天好好想想，写下来。 更相减损法 更相减损法最早起源于我国的《九章算术》，用于求两个数的最小公倍数。大意是给定两个数a,b，如果存在偶数，就将偶数以2；否则，就比较两数大小，用大数减小数，得到一个差；对差和剩下的那个小数重复该过程，直到两数相等，下一次相减结果为0，这时的数就是a和b的最大公约数。注意，去掉偶数除以2的步骤，也正确，但是加上这一步可能会让时间复杂度减少。 例如：15和12。15-12=3；12-3=9；9-3=6；6-3=3；3=3，跳出。则最大公因数是3。 算法的C/C++代码写法如下(循环实现）： int gcdgxjs(int a,int b) { while (a!=b) { if (a if (a>b) a-=b; else b-=a; } return a; ) 辗转相除法 辗转相除法最早是由欧几里得发现的，也被用来求最大公约数。算法是这样的：给定两个数a，b，求a%b，如果余数非0，就继续用除数除以余数，重复该过程，直到除数为0。此时的被除数，就是最大公约数。 例如，42和12。42%12=6；12%6=0，6&0，此时的6即为最大公约数。 算法的C/C++代码写法如下（递归实现）： int

问题：给出两个数a和b，求出他们的最大公约数(greatest common divisor)。 解法一：辗转相除法，又叫欧几里得算法。两个正整数a和b（a>b），他们的最大公约数等于a除以b的余数和b之间的最大公约数。 比如10和25，25除以10余5，那么10和25的最大公约数等同于5和10之间的最大公约数。 //辗转相除法 递归解法 int gcd(int a,int b){ if(a%b==0) return b; return (b,a%b); } //辗转相除法 迭代解法int gcd2(int a,int b){ int t; while(b!=0){ t=b; b=a%b; a=t; } return a; } 解法二：更相减损术，出自中国古代的《九章算术》。两个正整数a和b（a>b），他们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。 比如10和25，25-10=15，那么10和25的最大公约数等于10和15的最大公约数。 //更相减损术 递归 int gcd3(int a,int b){ if(a==b) return a; if(a>b) return gcd(a-b,b); else return gcd(b-a,a); } //更相减损术 迭代 int gcd4(int a,int b){ while(a*b!=0){ if(a>b) a=a-b;

此博客链接： 题目链接： 题解： 方法： 思路： 心酸历程： 1.一开始想着遍历短的字符串长度，只要两个字符串的每个字符相等就重新加入str中，但是运行时ABABAB和ABAB的最大公约数是AB不是ABAB。 2.想到了利用求最大公约数，遍历到最大公约数长度，比较两个字符串的字符，但是这样少考虑的两个字符串只有最大公约数前面字母相等的情况。例如ABCDEF和ABCD。 3. 来源： https://www.cnblogs.com/ping2yingshi/p/12644155.html

求任意两个正整数的最大公约数和(GCD)和最小公倍数(LCM) *问题分析与算法设计 手工方式求两个正整数的蝚大公约数的方法是用辗转相除法，在程序中可以模拟这种方式。 *程序说明与注释 #include<stdio.h> int main() { int a,b,num1,num2,temp; printf("Input a & b:"); scanf("%d%d",&num1,&num2); if(num1>num2) /*找出两个数中的较大值*/ { temp=num1; num1=num2; num2=temp; /*交换两个整数*/ } a=num1; b=num2; while(b!=0) /*采用辗转相除法求最大公约数*/ { temp=a%b; a=b; b=temp; } printf("The GCD of %d and %d is: %d\n",num1,num2,a); /*输出最大公约数*/ printf("The LCM of them is: %d\n",num1*num2/a); /*输出最小公倍数*/ } *运行结果 1.Input a & b: 20 55 The GCD of 20 and 55 is: 5 The LCM of them is: 220 2.Input a & b: 17 71 The GCD of 17 and 71 is:

辗转相除法的证明 　　设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数的步骤如下：用b除a，得a＝bq＋r（0≤r＜b）（q是这个除法的商）。若r=0,则b是a和b的最大公约数。若r≠0,则继续考虑。 　　首先，应该明白的一点是任何 a 和 b 的公约数都是 r 的公约数。要想证明这一点，就要考虑把 r 写成 r=a-bq。现在，如果 a 和 b 有一个公约数 d，而且设 a=sd , b=td, 那么 r = sd-tdq = (s-tq)d。因为这个式子中，所有的数（包括 s-tq )都为整数，所以 r 可以被 d 整除。 　　对于所有的 d 的值，这都是正确的；所以 a 和 b 的最大公约数也是 b 和 r 的最大公约数。因此我们可以继续对 b 和 r 进行上述取余的运算。这个过程在有限的重复后，可以最终得到 r=0 的结果，我们也就得到了 a 和 b 的最大公约数。 来源： https://www.cnblogs.com/oiercc/p/7294315.html

#include using namespace std; int main() { int m,n,a,b,m1; cout << "请输入两个正整数： "; cin >> m >> n; if(m>n) { a=m; b=n; } else { a=n; b=m; } while(m1!=0) { m1=a%b; a=b; b=m1; } cout << "最大公约数=" << a<<endl; cout << "最小公倍数=" << m*n/a; return 0; } 来源： https://www.cnblogs.com/deadpool520/p/11063483.html

过了这么久，终于知道了辗转相处的证明了，以前只是记住了，但不是真的很理解，现在写一下它的证明，以便下次忘了的时候看一下。辗转相除是求两个数的最大公约数的。 要证这个定理成立，只需要证明 gcd(a, b) = gcd(b, a % b) 就行了 证明：令a % b = r, 所以a = k * b + r, 所以r = a - k * b,假设d为a，b的一个公约数，那么 d|a， d|b,（d|a的意思就是d整除a，也就是a能被d整除），所以a - k * b 也一定能被d整除，即 d|r， 也就是 d|(a % b)， 因此d也是b 和 (a % b)的公约数，因此a,b 的公约数和b, (a%b)的公约数也是一样的，其最大公约数也一定相同，所以gcd(a, b) = gcd(b, a % b); 所以有了这个等式之后，基本上就算完了，还有一步就是怎么到最后求个具体的数，当b等于0时候就可以了，因为最后递归好多还是和原来的那个公寓数是相同的，最后有0了，他俩的最大公约数就是他本身了，也就是a了，用递归代码如下 1 int gcd(int a, int b) 2 { 3 return (b == 0 ? a : gcd(b, a % b)); 4 } 来源： https://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4329362.html

输入两个正整数m和n，求最大公约数和最小公倍数 最大公约数: 两个或多个整数共有约数中最大的一个,求最大公约数:质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法 最小公倍数: 两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的数是最小公倍数,求最小公倍数: 质因数分解法、公式法 辗转相除法求最大公约数: 辗转相除法， 又名欧几里德算法,是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数， 再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数(第二余数)去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的 最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数 公式法求最小公倍数: 两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积 //这里采用 辗转相除法求最大公约数 公式法求最小公倍数 代码如下: 1 #include <stdio.h> 2 3 //求最大公约数: 4 int gcd(int x , int y) 5 { 6 if(!y) 7 return x; 8 else 9 return gcd(y , x%y); 10 } 11 12 //求最小公倍数: 13 int lcm(int a, int b) 14 { 15 return a*b/gcd(a,b); 16 } 17 18 int main() 19 { 20 int a, b; 21 scanf(

一、欧几里得算法及其证明 1.定义： 欧几里得算法又称辗转相除法,用于求两数的最大公约数,计算公式为GCD(a,b)=GCD(b,a%b)； 2.证明： 设x为两整数a,b(a>=b)的最大公约数，那么x|a,x|b; ①由整数除法具有传递性(若x能整除a，x能整除b，那么x可整除a,b的任意线性组合)知x|a-b; ②设x不是b的因子，则x不是b和a-b的公因子；设x不是a的因子，则x不是b和a-b的公因子；所以可以得出GCD(a,b)=GCD(b,a-b); ③由a>=b知，a可表示为a=b*q+r；则a减去q个b剩下的数字即为r，所以GCD(a,b)=GCD(b,a%b)； 3.一般代码： (1)递归形式： int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;} (2)迭代形式： int gcd(int a,int b){ for(;;) { if(b==0)return a; int temp=a%b; a=b; b=temp; } } 4.几个性质： (1)若GCD(a,b)=1,那么a，b两数互质。 (2)GCD(a,2a)=a; (3)GCD(a,0)=a; (4)GCD(a,b)=GCD(-a,b)=GCD(a,-b)=GCD(-a,-b); (5)LCM(a,b) GCD(a,b)=a b(LCM为两数小公倍数); (6)GCD