直线方程

ACM比赛计算几何就比较重要了，高中只学了个凸包，今儿从圆的反演学起吧。 先来看一道需要用反演解决的题： HDU4773 Problem of Apollonius 题意：给定两个圆(x1,y1,r1)、(x2,y2,r2)，它们是相离的，在这两个圆外给定一个点p(x0,y0)。求符合条件：过点p的圆且与已知的两个圆外切的所有圆的总数和它们的圆心坐标和半径。 SOL：如果不知道反演，这道题的做法显然是列出两个方程： 然后发现这个东西根本就没有办法搞。所以就需要用到反演来解答此题。 反演的定义：已知一圆C，圆心为O，半径为r，如果P与P’在过圆心O的直线上，且 ，则称P与P'关于O互为反演点。 几条反演的重要性质： （1）过反演中心的圆，反形(经过反演之后的图形)为不过反演中心的直线。　　　　 （2）不过反演中心的直线，反形为过反演中心的圆。 证明的话比较显然，对于上面这个图，就是证明$|OM|*|OM^{'}| = |OC|*|OC^{'}|$就好了，也就是$\Delta OM^{'}C^{'} \sim \Delta OCM$。这个的话根据那个直角很容易得出。 （3）不过反演中心的圆，反形也为不过反演中心的圆，并且 反演中心为这两个互为反形的圆的位似中心 。 比如上图，O为反演中心，A和A'、B和B'都是互为反演点。证明从略。 这样的话显而易见的就得到了定理(4)：

【推荐】2019 Java 开发者跳槽指南.pdf(吐血整理) >>> 学 GIS 空间数据库的时候，拓扑方面内容笔记 拓扑的定义 拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。 它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小 。 “拓扑”就是把实体抽象成与其大小、形状无关的“点”，而把连接实体的线路抽象成“线”，进而以图的形式来表示这些点与线之间关系的方法，其目的在于研究这些点、线之间的相连关系。表示点和线之间关系的图被称为拓扑结构图。拓扑结构与几何结构属于两个不同的数学概念。在几何结构中， 我们要考察的是点、线、面之间的位置关系，或者说几何结构强调的是点与线所构成的形状及大小。如梯形、正方形、平行四边形及圆都属于不同的几何结构，但从拓扑结构的角度去看，由于点、线间的连接关系相同，从而具有相同的拓扑结构即环型结构。也就是说，不同的几何结构可能具有相同的拓扑结构。 如三角形变成四边形、原型、环形，角度、长度、面积、形状等等都很可能发生变化。此时，不必考虑它们的形状和大小（如长度、面积、形状等等这些），只考虑物体间的位置、结构关系，只专注于在连续改变形状后还能保持不变的一些性质(如他们都是一个圈)，这就是拓扑学。 拓扑学历史 拓扑英文名是Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。 几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支

文章目录 1 原理 2 检测直线 使用HoughLines()检测直线 使用HoughLinesP()检测直线 reference: 1 原理 1.众所周知, 一条直线在图像二维空间可由两个变量表示. 例如: 在 笛卡尔坐标系 : 可由参数: ( m , b ) (m,b) ( m , b ) 斜率和截距表示. 在 极坐标系 : 可由参数: ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ ) 极径和极角表示 对于霍夫变换, 我们将用 极坐标系 来表示直线. 因此, 直线的表达式可为: y = ( − cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) x + ( r sin ⁡ θ ) y=(-\frac{\cos\theta}{\sin\theta})x+(\frac{r}{\sin\theta}) y = ( − sin θ cos θ ​ ) x + ( sin θ r ​ ) 化简得: r = x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ r = x \cos \theta + y \sin \theta r = x cos θ + y sin θ 2.一般来说对于点 ( x 0 , y 0 ) (x_{0}, y_{0}) ( x 0 ​ , y 0 ​ ) , 我们可以将通过这个点的一族直线统一定义为: r θ = x 0 ⋅ cos ⁡ θ + y 0 ⋅ sin ⁡ θ r

OpenCV基元检测 Primitive Detection 目录 基元的概念 基元泛指图像中有特点的单元。常说的基元有：边缘、角点、斑点、直线段、圆、等 基元检测是图像分析的基础 边缘（Edge）检测 边缘是图像中像素灰度值发生剧烈变化而不连续的结果 边缘是赋予单个像素的一种性质，与图像函数在该像素的一个邻域内的梯度特性相关 边缘幅值：梯度的幅值 边缘方向：梯度方向旋转-90度 边缘检测既是常见基元检测的基础，也是基于边界的图像分割的第一步。 边缘检测算法 OpenCV边缘检测：Sobel、拉普拉斯算子 OpenCV边缘检测：坎尼算子算子 斑点（Blob）检测 斑点：与周围灰度有一定差别的区域 面部的雀斑 卫星照片中的一棵数 钢材X光照片中的杂质或气泡 医学图像中的细微肿块 斑点检测算法 OpenCV LoG算子：SIFT算法 OpenCV Blob特征检测算子 角点（Conner）检测 角点：物体的拐角、交叉点、 曲线上曲率最大的点等 角点的邻域是图像中信息比较丰富的区域 角点检测方法 基于边缘的方法：在小邻域内有两个不同的主边缘方向，实际图像中，孤立点、线段端点也会有类似特 性。缺点是：1)需要先提取边缘并编码，计算量大；2)局部变化对稳定性影响大。 基于灰度的方法：计算点的曲率和梯度，目前的主流 角点检测算法： OpenCV 角点检测：Harris算子 哈夫变换

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。 本文链接：https://blog.csdn.net/MarsJohn/article/details/54911788 在数据的统计分析中，数据之间即变量x与Y之间的相关性研究非常重要，通过在直角坐标系中做散点图的方式我们会发现很多统计数据近似一条直线，它们之间或者正相关或者负相关。虽然这些数据是离散的，不是连续的，我们无法得到一个确定的描述这种相关性的函数方程，但既然在直角坐标系中数据分布接近一条直线，那么我们就可以通过画直线的方式得到一个近似的描述这种关系的直线方程。当然，从前面的描述中不难看出，所有数据都分布在一条直线附近，因此这样的直线可以画出很多条，而我们希望找出其中的一条，能够最好地反映变量之间的关系。换言之，我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，设此直线方程为： 这里的是为了区分Y的实际值y（这里的实际值就是统计数据的真实值，我们称之为观察值），当x取值(i=1，2，3……n)时，Y的观察值为，近似值为（或者说对应的纵坐标是）。 其中式叫做Y对x的回归直线方程，b叫做回归系数。要想确定回归直线方程，我们只需确定a与回归系数b即可。 设x，Y的一组观察值为： i = 1，2，3……n 其回归直线方程为： 当x取值(i=1，2，3……n)时

转载： https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/9897047.html 一维空间的投影矩阵 　　先来看一维空间内向量的投影： 　　向量p是b在a上的投影，也称为b在a上的分量，可以用b乘以a方向的单位向量来计算，现在，我们打算尝试用更“贴近”线性代数的方式表达。 　　因为p趴在a上，所以p实际上是a的一个子空间，可以将它看作a放缩x倍，因此向量p可以用p = xa来表示，只要找出x就可以了。因为a⊥e，所以二者的点积为0： 　　我们希望化简这个式子从而得出x： 　　x是一个实数，进一步得到x： 　　a T b和a T a都是点积运算，最后将得到一个标量数字。这里需要抑制住消去a T 的冲动，向量是不能简单消去的，a和b都是2×1矩阵，矩阵的运算不满足乘法交换律，a T 无法先和1/a T 计算。 　　现在可以写出向量p的表达式，这里的x是个标量： 　　这就是b在a上的投影了，它表明，当b放缩时，p也放缩相同的倍数；a放缩时，p保持不变。 　　由于向量点积a T a是一个数字，p可以进一步写成： 　　在一维空间中，分子是一个2×2矩阵，这说明向量b的在a上的投影p是一个矩阵作用在b上得到的，这个矩阵就叫做投影矩阵（Projection Matrix），用大写的P表达： 　　推广到n维空间，a是n维向量，投影矩阵就是n×n的方阵。观察投影矩阵会法发现

已知椭圆 \(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>b>0)\) 的长轴长为 \(4\) ,离心率为 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) . \((1)\) 求椭圆 \(E\) 的标准方程; \((2)\) 过 \(P(1,0)\) 作直线 \(AB\) ,与椭圆相交于 \(A,B\) 两点.是否存在定直线 \(l\) ,对于任意给定的直线 \(AB\) ,使得 \(l\) 上的任意一点 \(Q\) ,与 \(A,P,B\) 三点连线的斜率始终成等差数列? 若存在,求出该直线方程;若不存在,请说明理由. 解析: \((1)\) 由题易得椭圆方程为 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\) . \((2)\) 假设存在满足题意的直线,则根据对称性,易知该定直线垂直于 \(x\) 轴, 设 \(QB\) 直线与椭圆交于另一点 \(D\) ,连接 \(DP\) 并延长,与椭圆交于另一点 \(C\) ,分别记直线 \(QB,QP,QA,QC\) 的斜率为 \[ k_1,k_0,k_2,k_3.\] 对于 \(A,B,Q\) 构成的点组,满足 \[ k_1+k_2=2k_0.\] 对于 \(C,D,Q\) 构成的点组,满足 \[ k_3+k_2=2k_0.\] 于是对比以上两式可知 \(k_1=k

斜率，亦称"角系数"，表示一条直线相对于横轴的 倾斜 程度。一条直线与某 平面直角坐标系 横轴正半轴方向的夹角的 正切值 即该直线相对于该坐标系的斜率。 如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。 当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b( 斜截式 )，k即该 函数图像 (直线)的斜率。 定义 由一条直线与右边X轴所成的角的 正切 。 k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)或(y1-y2)/(x1-x2) 直线斜率相关 当直线L的斜率不存在时， 斜截式 y=kx+b 当k=0时 y=b 当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(X2-X1)， 当直线L在两坐标轴上存在非零 截距 时，有截距式X/a+y/b=1 对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα 斜率计算:ax+by+c=0中，k=-a/b. 直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1:k1*k2=-1. 当k>0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大;当k<0时，直线与x轴夹角越大，斜率越小。 在物理中，斜率也有很重要的意义， 第一个，从课标的这个角度，我们可以知道在义务教育阶段，学习了一次函数，它的几何意义表示为一条直线，一次项的系数就是直线的斜率，只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示。虽然没有明确给出斜率这个名词

已知点 \(P\) 为直线 \(l:x=-2\) 上任意一点,过点 \(P\) 作抛物线 \(y^2=2px(p>0)\) 的两条切线,切点分别为 \(A(x_1,y_1)\) , \(B(x_2,y_2)\) ,则 \(x_1\cdot x_2=(\qquad)\) \(\mathrm{A}.2\) \(\qquad\mathrm{B}.\dfrac{p^2}{4}\) \(\qquad\mathrm{C}.p^2\) \(\qquad\mathrm{D}.4\) 解析: 由题设 \(P(-2,t)\) ,则由切点弦方程可知直线 \(AB\) 的方程为 \[ ty=p(-2+x).\] 显然该直线过定点 \((2,0)\) .再结合抛物线的几何平均性质可知 \[ x_1x_2=2^2=4.\] 从而选项 \(\rm D\) 正确. 来源： https://www.cnblogs.com/Math521/p/11733590.html

已知椭圆 \(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) 的长轴长为 \(2\sqrt{2},\) 焦距为 \(2,\) 抛物线 \(M:y^2=2px(p>0)\) 的准线经过 \(C\) 的左焦点 \(F.\) $ (1) $ 求 \(C\) 与 \(M\) 的方程 $ ; $ $ (2) $ 直线 \(l\) 经过 \(C\) 的上顶点且 \(l\) 与 \(M\) 交于 \(P,Q\) 两点, 直线 \(FP,FQ\) 与 \(M\) 分别交于点 \(D\) $ ($ 异于点 \(P\) \()\) , \(E\) \((\) 异于点 \(Q\) \()\) , 证明 \(:\) 直线 \(DE\) 的斜率为定值. $ (1) $ 由题易知椭圆 \(C\) 的方程为 \[ C:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,\] 从而其左焦点 \(F(-1,0)\) , 所以所求抛物线方程为 \(M: y^2=4x\) . $ (2) $ 如下图所示 由题设 \(P,Q,D,E\) 四点的坐标分别为 \[ P( t_1^2,2t_1 ), Q(t_2^2,2t_2),D(t_3^2,2t_3), E(t_4^2,2t_4).\] 由于直线 \(PQ\) 的纵截距为 \(1\) , 直线 \(DP,QE\) 的横截距为 \(-1\)