已知椭圆\(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>b>0)\)的长轴长为\(4\),离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\((1)\) 求椭圆\(E\)的标准方程;
\((2)\) 过\(P(1,0)\)作直线\(AB\),与椭圆相交于\(A,B\)两点.是否存在定直线\(l\),对于任意给定的直线\(AB\),使得\(l\)上的任意一点\(Q\),与\(A,P,B\)三点连线的斜率始终成等差数列? 若存在,求出该直线方程;若不存在,请说明理由.
解析:
\((1)\) 由题易得椭圆方程为\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\).
\((2)\) 假设存在满足题意的直线,则根据对称性,易知该定直线垂直于\(x\)轴,
设\(QB\)直线与椭圆交于另一点\(D\),连接\(DP\)并延长,与椭圆交于另一点\(C\),分别记直线\(QB,QP,QA,QC\)的斜率为\[ k_1,k_0,k_2,k_3.\]
对于\(A,B,Q\)构成的点组,满足\[ k_1+k_2=2k_0.\] 对于\(C,D,Q\)构成的点组,满足\[ k_3+k_2=2k_0.\]于是对比以上两式可知\(k_1=k_3\),因此\(C,A,Q\)三点共线.
从而结合极点极线的知识可判定\(Q\)点必然也恒位于\(P\)点关于椭圆\(E\)的极线,也即直线\(x=4\)上 .
存在直线\(x=4\)满足题意,以下给与证明.设\(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) ,\(Q(4,t)\),\(t\in\mathbb{R}\).
情形一 当直线\(AB\)斜率为\(0\),也即\(AB\)直线与\(x\)轴重合时,直线\(QA,QB\)的斜率之和为\[ \dfrac{t-0}{4-(-2)}+\dfrac{t-0}{4-2}=\dfrac{2}{3}t.\]
此时\(QP\)的斜率为\(\dfrac{t-0}{4-1}=\dfrac{t}{3}\),满足题意.
情形二 当直线\(AB\)的斜率不为\(0\)时,设直线\(AB\)的方程为\[ x=my+1,m\in\mathbb{R}.\]将该直线与椭圆的方程联立消去\(x\)并整理可得\[(2+m^2)y^2+2my-3=0.\]由韦达定理易得\[ y_1+y_2=\dfrac{-2m}{2+m^2},y_1y_2=\dfrac{-3}{2+m^2}.\]
从而直线\(QA,QB\)的斜率之和为\[ \begin{split} \dfrac{t-y_1}{4-x_1}+\dfrac{t-y_2}{4-x_2}&=\dfrac{t-y_1}{3-my_1}+\dfrac{t-y_2}{3-my_2}\\ &=\dfrac{6t-(3+mt)(y_1+y_2)+2my_1y_2}{9-3m(y_1+y_2)+m^2y_1y_2}\\ &=\dfrac{4t\cdot(3+2m^2)}{6\cdot(3+2m^2)}\\ &=2\cdot \dfrac{t}{3}. \end{split} \]
显然\(QA,QB\)的斜率和等于\(QP\)斜率的二倍,满足题设.
因此,存在直线\(x=4\)满足题意.